Теорема Пуанкаре – Миранды - Википедия - Poincaré–Miranda theorem

В математике Теорема Пуанкаре – Миранды является обобщением теорема о промежуточном значении, от одной функции в одном измерении до п функции в п размеры. В нем говорится следующее:

Учитывать непрерывные функции переменные, . Предположим, что для каждой переменной , функция постоянно отрицательный, когда и постоянно положительный, когда . Тогда есть точка в -размерный куб в котором все функции одновременно равно .

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре, который предположил это в 1883 году, и Карло Миранда, который в 1940 году показал, что он эквивалентен Теорема Брауэра о неподвижной точке.[1]

Интуитивное описание

Графическое представление теоремы Пуанкаре – Миранды для n = 2
Графическое представление теоремы Пуанкаре – Миранды для п = 2

На рисунке справа показана иллюстрация теоремы Пуанкаре – Миранды для п = 2 функции. Рассмотрим пару функций (ж,грамм) чей область определения это [-1,+1]2 квадрат. Функция ж отрицательна на левой границе и положительна на правой границе (зеленые стороны квадрата), а функция грамм отрицательный на нижней границе и положительный на верхней границе (красные стороны квадрата). Когда мы идем слева направо любой пути, мы должны пройти через точку, в которой ж является 0. Следовательно, должна быть «стена», отделяющая левую от правой, по которой ж является 0 (зеленая кривая внутри квадрата). Точно так же должна быть «стена», отделяющая верх от низа, по которой грамм является 0 (красная кривая внутри квадрата). Эти стены должны пересекаться в точке, в которой выполняются обе функции. 0 (синяя точка внутри квадрата).

Обобщения

Простейшее обобщение, по сути, следствие, этой теоремы является следующая. Для каждой переменной Икся, позволять ая быть любым значением в диапазоне[Как делаИкся = 0 жя, инфИкся = 1 жя]Тогда в единичном кубе есть точка, в которой для всех я:

.

Это утверждение можно свести к исходному простым перевод осей,

куда

  • Икся являются координаты в области определения функции
  • уя координаты в codomain функции

Примечания

  1. ^ (Кульпа 1997, п. 545).

Рекомендации

  • Дугунджи, Джеймс; Гранас, Анджей (2003), Теория фиксированной точки, Springer Monographs in Mathematics, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xv + 690, ISBN  0-387-00173-5, МИСТЕР  1987179, Zbl  1025.47002
  • Кульпа, Владислав (июнь 1997 г.), "Теорема Пуанкаре-Миранды", Американский математический ежемесячник, 104 (6): 545–550, Дои:10.2307/2975081, JSTOR  2975081, МИСТЕР  1453657, Zbl  0891.47040.
  • Миранда, Карло (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Серия 2 (на итальянском языке), 3: 5–7, JFM  66.0217.01, МИСТЕР  0004775, Zbl  0024.02203.

внешняя ссылка