Преддитивная категория - Википедия - Preadditive category

В математика особенно в теория категорий, а предаддитивная категория другое название для Ab-категория, т.е. категория то есть обогащенный над категория абелевых групп, Ab. То есть Ab-категория C это категория такой, что каждый домашний набор Hom (А,B) в C имеет структуру абелевой группы, а композиция морфизмов билинейный, в том смысле, что композиция морфизмов распределяется по групповой операции. В формулах:

и
где + - групповая операция.

Некоторые авторы использовали термин аддитивная категория для предаддитивных категорий, но здесь мы следуем текущей тенденции резервирования этого слова для определенных специальных предаддитивных категорий (см. § Особые случаи ниже).

Примеры

Наиболее очевидным примером предаддитивной категории является категория Ab сам. Точнее, Ab это закрытая моноидальная категория. Обратите внимание, что коммутативность здесь имеет решающее значение; это гарантирует, что сумма двух гомоморфизмы групп снова гомоморфизм. Напротив, категория всех группы не закрывается. Видеть Медиальная категория.

Другие распространенные примеры:

  • Категория (слева) модули через звенеть р, особенно:
  • Алгебра матрицы над кольцом, рассматриваемым как категория, как описано в статье Добавочная категория.
  • Любое кольцо, рассматриваемое как категория с одним объектом, является предаддитивной категорией. Здесь композиция морфизмов - это просто умножение колец, а единственное гом-множество - это основная абелева группа.

Это даст вам представление о том, о чем думать; для получения дополнительных примеров перейдите по ссылкам на § Особые случаи ниже.

Элементарные свойства

Поскольку каждое hom-множество Hom (А,B) - абелева группа, она имеет нуль элемент 0. Это нулевой морфизм из А к B. Поскольку композиция морфизмов билинейна, композиция нулевого морфизма и любого другого морфизма (с обеих сторон) должна быть другим нулевым морфизмом. Если вы думаете о композиции как о аналоге умножения, то это говорит о том, что умножение на ноль всегда приводит к нулю, что является знакомой интуицией. Продолжая эту аналогию, тот факт, что композиция вообще является билинейной, становится распределенность умножения над сложением.

Сосредоточение внимания на одном объекте А в предаддитивной категории эти факты говорят, что эндоморфизм hom-множество Hom (А,А) это звенеть, если мы определим умножение в кольце как композицию. Это кольцо кольцо эндоморфизмов из А. И наоборот, каждое кольцо (с личность ) - кольцо эндоморфизмов некоторого объекта в некоторой предаддитивной категории. Действительно, учитывая кольцо р, мы можем определить предаддитивную категорию р иметь один объект А, пусть Hom (А,А) быть р, и пусть композиция есть умножение колец. С р является абелевой группой и умножение в кольце билинейно (дистрибутивно), это делает р предаддитивная категория. Теоретики категорий часто думают о кольце р и категория р как два разных представления одного и того же, так что особенно извращенный теоретик категорий может определить кольцо как предаддитивную категорию с точно один объект (так же, как моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом - и если забыть об аддитивной структуре кольца, мы получим моноид).

Таким образом, предаддитивные категории можно рассматривать как обобщение колец. Многие концепции теории колец, такие как идеалы, Радикалы Якобсона, и факторные кольца можно просто обобщить на этот параметр. Пытаясь записать эти обобщения, следует думать о морфизмах в предаддитивной категории как о «элементах» «обобщенного кольца».

Аддитивные функторы

Если C и D предаддитивные категории, то функтор FC → D является добавка если это тоже обогащенный по категории Ab. То есть, F аддитивен если и только если, учитывая любые объекты А и B из C, то функция ж: Hom (А,B) → Hom (F(А),F(B)) это групповой гомоморфизм. Большинство изученных функторов между предаддитивными категориями являются аддитивными.

Для простого примера, если кольца р и S представлены предаддитивными категориями с одним объектом р и S, затем кольцевой гомоморфизм из р к S представлен аддитивным функтором из р к S, и наоборот.

Если C и D категории и D является предаддитивным, то категория функторов DC также является предаддитивным, потому что естественные преобразования могут быть добавлены естественным образом. C тоже является предаддитивным, то категория Добавить (C,D) аддитивных функторов и все естественные преобразования между ними также предаддитивны.

Последний пример приводит к обобщению модули над кольцами: если C предаддитивная категория, то Mod (C): = Добавить (C,Ab) называется категория модуля над C.[нужна цитата ] Когда C - однообъектная предаддитивная категория, соответствующая кольцу р, это сводится к обычной категории (оставили) р-модули. Опять же, практически все концепции из теории модулей могут быть обобщены в этом контексте.

р-линейные категории

В более общем плане можно рассматривать категорию C обогащенный по моноидальной категории модули через коммутативное кольцо р, называется р-линейная категория. Другими словами, каждый домашний набор Hom (А,B) в C имеет структуру р-модуль, а композиция морфизмов р-билинейный.

При рассмотрении функторов между двумя р-линейные категории, часто ограничиваются теми, которые р-линейный, поэтому те, которые вызывают р-линейные отображения на каждом hom-множестве.

Побочные продукты

Любой конечный товар в предаддитивной категории также должен быть сопродукт, и наоборот. Фактически, конечные произведения и копроизведения в предаддитивных категориях можно охарактеризовать следующим образом: состояние двойного продукта:

Предмет B это побочный продукт объектов А1, ..., Ап если и только если Существуют проекционные морфизмы пjB → Аj и инъекционные морфизмы яjАj → B, такое что (я1п1) + ··· + (яппп) - тождественный морфизм B, пjяj это морфизм идентичности из Аj, и пjяk нулевой морфизм из Аk к Аj в любое время j и k находятся отчетливый.

Это двойное произведение часто пишут А1 ⊕ ··· ⊕ Ап, заимствуя обозначения для прямая сумма. Это связано с тем, что побочное произведение в хорошо известных предаддитивных категориях, таких как Ab является прямая сумма. Однако хотя бесконечный прямые суммы имеют смысл в некоторых категориях, например Ab, бесконечные двойные произведения делают нет имеет смысл.

Условие двойственности в случае п = 0 резко упрощается; B это нулевое двойное произведение тогда и только тогда, когда тождественный морфизм B нулевой морфизм из B самому себе, или, что то же самое, если гом-множество Hom (B,B) это тривиальное кольцо. Обратите внимание, что, поскольку нулевое двойное произведение будет как Терминал (нулевой продукт) и исходный (нулевой копродукт), на самом деле это будет нулевой объектНа самом деле, термин «нулевой объект» возник в результате изучения предаддитивных категорий, таких как Ab, где нулевым объектом является нулевая группа.

Предаддитивная категория, в которой существует каждое двойное произведение (включая нулевой объект), называется добавка. Дополнительные сведения о побочных продуктах, которые в основном полезны в контексте дополнительных категорий, можно найти по этой теме.

Ядра и коядра

Поскольку гом-множества в предаддитивной категории не имеют морфизмов, понятие ядро и коядро имеет смысл. То есть, если жА → B является аморфизмом в предаддитивной категории, то ядро ж этоэквалайзер из ж и нулевой морфизм из А к B, а коядро ж это уравнитель из ж и этот нулевой морфизм. В отличие от продуктов и побочных продуктов, ядро ​​и коядро ж обычно не равны в предаддитивной категории.

При специализации на преаддитивных категориях абелевых групп или модулей над кольцом это понятие ядра совпадает с обычным понятием ядро гомоморфизма, если отождествить обычное ядро K из жА → B с его вложением K → А. Однако в общей предаддитивной категории могут существовать морфизмы без ядер и / или коядров.

Существует удобная связь между ядром и коядром и структурой абелевой группы на hom-множествах. Учитывая параллельные морфизмы ж и грамм, эквалайзер ж и грамм это просто ядро грамм − ж, если один из них существует, и аналогичный факт верен для соуравнителей. Альтернативный термин "разностное ядро" для двоичных эквалайзеров происходит от этого факта.

Предаддитивная категория, в которой существуют все двупроизведения, ядра и коядра, называется доабелевский. Дополнительные факты о ядрах и коядрах в предаддитивных категориях, которые в основном полезны в контексте доабелевых категорий, могут быть найдены по этой теме.

Особые случаи

Большинство этих частных случаев предаддитивных категорий уже упоминалось выше, но они собраны здесь для справки.

Наиболее часто изучаемые предаддитивные категории фактически являются абелевыми категориями; Например, Ab - абелева категория.

Рекомендации

  • Николае Попеску; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям; Academic Press, Inc .; из печати
  • Чарльз Вейбель; 1994; Введение в гомологические алгебры; Cambridge Univ. Нажмите