Спроектированная динамическая система - Projected dynamical system

Проектируемые динамические системы это математический теория, исследующая поведение динамические системы где решения ограничены набором ограничений. Дисциплина разделяет связи и приложения с статическим миром оптимизация и равновесие проблемы и динамичный мир обыкновенные дифференциальные уравнения. А проектируемая динамическая система дается поток к прогнозируемое дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = Pi _ {K} (x (t), - F (x (t)))}$

куда K это наш набор ограничений. Дифференциальные уравнения такого вида отличаются наличием разрывного векторного поля.

История проектируемых динамических систем

Спроектированные динамические системы возникли из желания динамически моделировать поведение нестатических решений в задачах равновесия по некоторому параметру, обычно принимаемому за время. Эта динамика отличается от динамики обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что решения по-прежнему ограничены тем набором ограничений, над которым работает основная задача равновесия, например неотрицательность вложений в финансовый моделирование выпуклый многогранник устанавливается в исследование операций и т. д. Одним особенно важным классом задач равновесия, который способствовал возникновению проектируемых динамических систем, был класс проблем вариационные неравенства.

Формализация проектируемых динамических систем началась в 1990-х годах. Однако аналогичные концепции можно найти в предшествующей математической литературе, особенно в связи с вариационными неравенствами и дифференциальными включениями.

Выступы и конусы

Любое решение нашего прогнозируемого дифференциального уравнения должно оставаться внутри нашего набора ограничений. K за все время. Этот желаемый результат достигается за счет использования операторов проекции и двух конкретных важных классов выпуклые конусы. Здесь мы берем K быть закрыто, выпуклый подмножество некоторых Гильбертово пространство Икс.

В нормальный конус к набору K в момент Икс в K дан кем-то

${displaystyle N_ {K} (x) = {pin V | langle p, x-x ^ {*} angle geq 0, forall x ^ {*} in K}.}$

В касательный конус (или же условный конус) к множеству K в момент Икс дан кем-то

${displaystyle T_ {K} (x) = {overline {igcup _ {h> 0} {frac {1} {h}} (K-x)}}.}.$

В оператор проекции (или же отображение ближайшего элемента) точки Икс в Икс к K дается точкой ${displaystyle P_ {K} (x)}$ в K такой, что

${displaystyle | x-P_ {K} (x) | leq | x-y |}$

для каждого у в K.

В оператор проекции вектора вектора v в Икс в какой-то момент Икс в K дан кем-то

${displaystyle Pi _ {K} (x, v) = lim _ {delta o 0 ^ {+}} {frac {P_ {K} (x + delta v) -x} {delta}}.}$

Прогнозируемые дифференциальные уравнения

Дано замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства Икс и векторное поле -F который берет элементы из K в Икс, проектируемое дифференциальное уравнение, связанное с K и -F определяется как

${displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = Pi _ {K} (x (t), - F (x (t))).}$

На интерьер из K решения ведут себя так, как если бы система была обыкновенным дифференциальным уравнением без ограничений. Однако, поскольку векторное поле разрывно вдоль границы множества, спроецированные дифференциальные уравнения принадлежат к классу разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя это делает большую часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений неприменимой, известно, что когда -F это Липшиц непрерывное векторное поле, единственное абсолютно непрерывный решение существует через каждую начальную точку х (0) = х₀ в K на интервале ${displaystyle [0, infty)}$.

Это дифференциальное уравнение можно также охарактеризовать следующим образом:

${displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = P_ {T_ {K} (x (t))} (- F (x (t)))}$

или же

${displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = - F (x (t)) - P_ {N_ {K} (x (t))} (- F (x (t))).}$

Условное обозначение векторного поля -F с отрицательным знаком возникает из-за определенной связи спроектированных динамических систем разделяет с вариационными неравенствами. В литературе принято называть векторное поле положительным в вариационном неравенстве и отрицательным в соответствующей проектируемой динамической системе.

Смотрите также

• Дифференциальное вариационное неравенство
• Теория динамических систем
• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Вариационное неравенство
• Дифференциальное включение
• Теория дополнительности

Рекомендации

• Обен, Дж. П., Челлина, А., Дифференциальные включения, Springer-Verlag, Берлин (1984).
• Нагерни А. и Чжан Д., Прогнозируемые динамические системы и вариационные неравенства с приложениями, Kluwer Academic Publishers (1996).
• Кожокару М. и Йонкер Л., Существование решений проектируемых дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах, Proc. Амер. Математика. Soc., 132 (1), 183-193 (2004).
• Броглиато Б., Даниилидис А. и Лемарешаль, К., и Акари, В., «Об эквивалентности между системами дополнительности, проектируемыми системами и дифференциальными включениями», Системы и контрольные письма, том 55, стр 45-51 (2006)