Pushforward (гомология) - Википедия - Pushforward (homology)

В алгебраическая топология, то продвигать из непрерывная функция  : между двумя топологические пространства это гомоморфизм между группы гомологии за .

Гомология - это функтор который преобразует топологическое пространство в последовательность групп гомологии . (Часто для обозначения совокупности всех таких групп используют обозначение ; эта коллекция имеет структуру градуированное кольцо.) В любом категория, функтор должен индуцировать соответствующий морфизм. Подтверждением является морфизм, соответствующий функтору гомологии.

Определение сингулярных и симплициальных гомологий

Мы строим прямой гомоморфизм следующим образом (для сингулярных или симплициальных гомологий):

Во-первых, у нас есть индуцированный гомоморфизм между сингулярным или симплициальным цепной комплекс и определяется путем составления каждого сингулярного n-симплекс  : с получить особый n-симплекс ,  : . Затем мы продолжаем линейно через .

Карты  : удовлетворить куда это граничный оператор между цепными группами, поэтому определяет карта цепи.


У нас есть это переводит циклы в циклы, так как подразумевает . Также принимает границы до границ, поскольку .

Следовательно индуцирует гомоморфизм между группами гомологий за .

Свойства и гомотопическая инвариантность

Два основных свойства проталкивания вперед:

  1. для составления карт .
  2. куда  : относится к функции идентичности и относится к тождественному изоморфизму групп гомологий.


Главный результат продвижения вперед - это гомотопическая инвариантность: если две карты гомотопны, то они индуцируют тот же гомоморфизм .

Отсюда сразу следует, что группы гомологий гомотопически эквивалентных пространств изоморфны:

Карты индуцированная гомотопической эквивалентностью являются изоморфизмами для всех .

Рекомендации

  • Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0