Группа перестановок ранга 3 - Википедия - Rank 3 permutation group

В математике теория конечных групп, а группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на таком множестве, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты. Изучение этих групп было начато Хигман  (1964, 1971 ). Некоторые из спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.

Классификация

Все примитивные группы перестановок ранга 3 принадлежат к одному из следующих классов:

  • Кэмерон (1981) классифицировал те, что где цоколь Т из Т0 просто, и Т0 является 2-транзитивной группой степени п.
  • Либек (1987) классифицировал те, у которых есть регулярная элементарная абелева нормальная подгруппа
  • Баннаи (1971–72) классифицировал те, цоколь которых представляет собой простую переменную группу
  • Кантор и Либлер (1982) классифицировал те, чей цоколь является простой классической группой
  • Либек и Саксл (1986) классифицировали те, чей цоколь представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.

Примеры

Если грамм любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то его действие на пары элементов S группа перестановок ранга 3.[1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и Матье группы имеют 4-транзитивные действия, поэтому их можно объединить в группы перестановок ранга 3.

Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.

Несколько 3-транспозиционные группы группы подстановок ранга 3 (в действии на транспозиции).

Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько "цепочек" групп перестановок ранга 3, таких как Цепь Suzuki и цепочка, оканчивающаяся на Группы Фишера.

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из (Либек и Саксл 1986 )) перечислены ниже.

Для каждой строки в таблице ниже в сетке в столбце, помеченном «размер», число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1 + 6 + 8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трех орбит стабилизатора точки перестановки группы составляют 1, 6 и 8 соответственно.

ГруппаСтабилизатор точкиразмерКомментарии
А6 = L2(9) = Sp4(2) '= М10'S415 = 1+6+8Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки из 6 точек; два класса
А9L2(8):3120 = 1+56+63Проективная прямая P1(8); два класса
А105× А5):4126 = 1+25+100Наборы из 2 блоков по 5 в естественном представлении с 10-точечной перестановкой
L2(8)7: 2 = Ди (7)36 = 1+14+21Пары точек в P1(8)
L3(4)А656 = 1+10+45Гиперовали в P2(4); три класса
L4(3)PSp4(3):2117 = 1+36+80Симплектические полярности P3(3); два класса
грамм2(2) '= U3(3)PSL3(2)36 = 1+14+21Цепь Suzuki
U3(5)А750 = 1+7+42Действие на вершинах Граф Хоффмана-Синглтона; три класса
U4(3)L3(4)162 = 1+56+105Два класса
Sp6(2)грамм2(2) = U3(3):2120 = 1+56+63Группа Шевалле типа G2 действующий на алгебру октонионов над GF (2)
Ω7(3)грамм2(3)1080 = 1+351+728Группа Шевалле типа G2 действует на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF (3); два класса
U6(2)U4(3):221408 = 1+567+840Стабилизатор точки - это изображение линейного представления, полученного в результате "разрушения" комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
M11M9:2 = 32: SD1655 = 1+18+36Пары точек в представлении перестановок из 11 точек
M12M10: 2 = А6.22 = PΓL (2,9)66 = 1+20+45Пары точек или пары дополнительных блоков S (5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса
M2224: А677 = 1+16+60Блоки S (3,6,22)
J2U3(3)100 = 1+36+63Цепь Suzuki; действие на вершины График Холла-Янко
Группа Хигман-Симс HSM22100 = 1+22+77Действие на вершинах График Хигмана-Симса
M22А7176 = 1+70+105Два класса
M23M21: 2 = L3(4):22 = PΣL (3,4)253 = 1+42+210Пары точек в представлении 23-точечной перестановки
M2324: А7253 = 1+112+140Блоки S (4,7,23)
Маклафлин группа McLU4(3)275 = 1+112+162Действие на вершинах График Маклафлина
M24M22:2276 = 1+44+231Пары точек в представлении перестановок из 24 точек
грамм2(3)U3(3):2351 = 1+126+244Два класса
грамм2(4)J2416 = 1+100+315Цепь Suzuki
M24M12:21288 = 1+495+792Пары дополнительных додекад в 24-точечном перестановочном представлении
Группа Suzuki Suzграмм2(4)1782 = 1+416+1365Цепь Suzuki
грамм2(4)U3(4):22016 = 1+975+1040
Co2БП6(2):22300 = 1+891+1408
Rudvalis group Ru²F₄ (2)4060 = 1+1755+2304
Fi222. ПСС6(2)3510 = 1+693+28163-транспозиции
Fi22Ω7(3)14080 = 1+3159+10920Два класса
Fi232.Fi2231671 = 1+3510+281603-транспозиции
грамм2(8).3SU3(8).6130816 = 1+32319+98496
Fi23ПОм8+(3) .S3137632 = 1+28431+109200
Fi24 'Fi23306936 = 1+31671+2752643-транспозиции

Примечания

  1. ^ Этими тремя орбитами являются: сама неподвижная пара; пары, имеющие один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общих элементов с фиксированной парой.

Рекомендации