Машина для разрыва - Википедия - Rips machine

В геометрическая теория групп, то Разрывает машину это метод изучения действие из группы на р-деревья. Он был представлен в неопубликованной работе Элияху Рипс примерно в 1991 г.

An р-дерево уникально линейно связанный метрическое пространство в котором каждая дуга изометрична некоторому действительному интервалу. Рипс доказал гипотезу Морган и Шелен (1991) что любой конечно порожденная группа действовать свободно на р-дерево - это бесплатный продукт свободных абелевых и поверхностных групп (Bestvina & Feighn 1995 ).

Действия групп поверхностей на R-деревьях

К Теория Басса – Серра, группа, свободно действующая на симплициальном дереве, свободна. Это больше не верно для р-деревья, как Морган и Шелен (1991) показал, что фундаментальные группы поверхностей Эйлерова характеристика меньше -1 также свободно действуют на р-деревья. Они доказали, что фундаментальная группа связной замкнутой поверхности S свободно действует на R-дереве тогда и только тогда, когда S не является одной из трех неориентируемых поверхностей эйлеровой характеристики ≥ − 1.

Приложения

Машина Рипса сопоставляет устойчивое изометрическое действие конечно порожденной группы грамм определенное приближение "нормальной формы" этого действия устойчивым действием грамм на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление грамм в смысле теории Басса – Серра. Групповые действия на настоящие деревья возникают естественно в нескольких контекстах в геометрическая топология: например, как граничные точки Пространство Тейхмюллера[1] (Каждая точка на границе Терстона пространства Тейхмюллера представлена ​​измеренным геодезическим слоем на поверхности; эта слоистость поднимается до универсального покрытия поверхности, и естественно двойственный объект к этому лифту является -дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как Пределы Громова-Хаусдорфа из, с соответствующим изменением масштаба, Клейнианская группа действия,[2][3] и так далее. Использование -деревья обеспечивают существенные сокращения в современных доказательствах Теорема Терстона о гиперболизации за 3-многообразия Хакена.[3][4] По аналогии, -деревья играют ключевую роль в изучении Каллер -Фогтманн космическое пространство[5][6] а также в других областях геометрическая теория групп; Например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и приводят к групповым действиям на настоящие деревья.[7][8] Использование -деревья вместе с теорией Басса – Серра являются ключевым инструментом в работе Селы по решению проблемы изоморфизма для (без кручения) словесно-гиперболические группы, Версия Селы теории JSJ-разложения и работа Селы по гипотезе Тарского для свободных групп и теории ограничить группы.[9][10]

Рекомендации

  1. ^ Ричард Скора. Расщепление поверхностей. Бюллетень Американского математического общества (N.S.), т. 23 (1990), нет. 1. С. 85–90.
  2. ^ Младен Бествина. Вырождения гиперболического пространства. Математический журнал герцога. т. 56 (1988), нет. 1. С. 143–161.
  3. ^ а б М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы.Успехи в математике, 183. Birkhäuser. Бостон, Массачусетс, 2001. ISBN  0-8176-3904-7
  4. ^ Ж.-П. Отал. Теорема гиперболизации для расслоенных трехмерных многообразий.Перевод с французского оригинала 1996 года Лесли Д. Кей. Тексты и монографии SMF / AMS, 7. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Société Mathématique de France, Париж. ISBN  0-8218-2153-9
  5. ^ Маршал Коэн и Мартин Лустиг. Действия очень малых групп на -деревья и твист-автоморфизмы Дена. Топология, т. 34 (1995), нет. 3. С. 575–617.
  6. ^ Гилберт Левитт и Мартин Лустиг. Неприводимые автоморфизмы Fп имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, vol. 2 (2003), нет. 1. С. 59–72.
  7. ^ Корнелия Другу и Марк Сапир. Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. (С приложением Денис Осин и Марк Сапир.) Топология, т. 44 (2005), нет. 5. С. 959–1058.
  8. ^ Корнелия Друту и ​​Марк Сапир. Группы, действующие на древовидных пространствах и расщепления относительно гиперболических групп. Успехи в математике, т. 217 (2008), нет. 3. С. 1313–1367.
  9. ^ Злил Села. Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп. Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 87–92, Higher Ed. Press, Пекин, 2002; ISBN  7-04-008690-5
  10. ^ Злил Села. Диофантова геометрия над группами. Диаграммы Маканина-Разборова. Публикации Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques, № 93 (2001), стр. 31–105.

внешняя ссылка