Квантовый оператор
Часть серии на |
Квантовая механика |
---|
![{ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de8741a7d26ae98689c7b3339e97dfafea9fd26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта статья касается вращение оператор, как это показано в квантовая механика.
Квантово-механические вращения
С каждым физическим вращением
, мы постулируем квантовомеханический оператор вращения
который вращает квантово-механические состояния.
![| alpha rangle_R = D (R) | alpha rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba5f50a98143f413f715cb27bdcab4c1556644)
Что касается генераторов вращения,
![{ displaystyle D ( mathbf { hat {n}}, phi) = exp left (-i phi { frac { mathbf { hat {n}} cdot mathbf {J}} { hbar}} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087019bb3ca435f0a35124148f822528ad10a8a8)
где
ось вращения, а
угловой момент.
Оператор перевода
В вращение оператор
, с первым аргументом
с указанием вращения ось а второй
угол поворота, может работать через оператор перевода
для бесконечно малых вращений, как описано ниже. Вот почему сначала показано, как оператор трансляции действует на частицу в позиции x (тогда частица находится в штат
согласно с Квантовая механика ).
Перевод частицы в положение
позиционировать
: ![{ Displaystyle OperatorName {T} (а) | х rangle = | х + а rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8446c2217381064e7cc53a893abb3cfbe60a456c)
Поскольку перевод 0 не меняет положение частицы, мы имеем (где 1 означает оператор идентификации, который ничего не делает):
![{ displaystyle operatorname {T} (0) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fdcbf37ac4d44d0a8224abc3eeff2124b433d7)
![{ displaystyle operatorname {T} (a) operatorname {T} (da) | x rangle = operatorname {T} (a) | x + da rangle = | x + a + da rangle = operatorname {T} (a + da) | x rangle Rightarrow operatorname {T} (a) operatorname {T} (da) = operatorname {T} (a + da)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59e1b7b3475556416620c64610de514cd3cb54b)
Тейлор разработка дает:
![{ displaystyle operatorname {T} (da) = operatorname {T} (0) + { frac {d operatorname {T} (0)} {da}} da + cdots = 1 - { frac {i } { hbar}} p_ {x} da}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2d92c1fd1acfec5335f6de670d7194cd167122)
с участием
![{ displaystyle p_ {x} = я hbar { frac {d operatorname {T} (0)} {da}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fe8a441743deefdead1f80b1e618c12de1f8dd)
Из этого следует:
![{ displaystyle operatorname {T} (a + da) = operatorname {T} (a) operatorname {T} (da) = operatorname {T} (a) left (1 - { frac {i}) { hbar}} p_ {x} da right) Rightarrow [ operatorname {T} (a + da) - operatorname {T} (a)] / da = { frac {d operatorname {T}} {da}} = - { frac {i} { hbar}} p_ {x} operatorname {T} (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1470fcebcbc28d404d9006f7f0d4c9cc1831f8)
Это дифференциальное уравнение с решением
![{ displaystyle operatorname {T} (a) = operatorname {exp} left (- { frac {i} { hbar}} p_ {x} a right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fabb999218894170d342c877120cd869f66f11)
Кроме того, предположим Гамильтониан
не зависит от
должность. Поскольку оператор перевода можно записать в терминах
, и
, мы знаем это
Этот результат означает, что линейный импульс для системы сохраняется.
По отношению к орбитальному угловому моменту
Классически у нас есть угловой момент
То же самое и в квантовая механика учитывая
и
как операторы. Классически бесконечно малое вращение
вектора
о
- ось к
уходящий
неизменный может быть выражен следующими бесконечно малыми переводами (используя Приближение Тейлора ):
![{ Displaystyle х '= г соз (т + дт) = х-ярд + cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a5c7e0458bc407a042e740102d295c2fc817c4)
![{ Displaystyle у '= г грех (т + дт) = у + xdt + cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae74b5c000b7db8337bec84478e52f2fde7a41d)
Из этого следует для состояний:
![{ displaystyle operatorname {R} (z, dt) | r rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a24b9f2804e91ad673cc5ecbb161dbc4ee93b3)
![{ displaystyle = operatorname {R} (z, dt) | x, y, z rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e897d822a5074cf337cfef9d1a7dcb5ba7c96b0)
![= | x - y dt, y + x dt, z rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f93b16695d55ca1d1db0ef29d9d53621690dbad)
![{ displaystyle = operatorname {T} _ {x} (- ydt) operatorname {T} _ {y} (xdt) | x, y, z rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88473027ca4bfad2440e3b63218ff3ea88978a08)
![{ displaystyle = operatorname {T} _ {x} (- ydt) operatorname {T} _ {y} (xdt) | r rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddb42696be72577b0da7109e45c46e4f5a32599)
И следовательно:
![{ displaystyle operatorname {R} (z, dt) = operatorname {T} _ {x} (- ydt) operatorname {T} _ {y} (xdt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bba7be89cca7a483192d7401b1c61c02f96c41)
С помощью
![{ displaystyle T_ {k} (a) = exp left (- { frac {i} {h}} p_ {k} a right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24786f7892d0ab680a2c5397ec9f147f16298717)
сверху с
и разложения Тейлора получаем:
![{ displaystyle operatorname {R} (z, dt) = exp left [- { frac {i} {h}} (xp_ {y} -yp_ {x}) dt right] = exp left (- { frac {i} {h}} l_ {z} dt right) = 1 - { frac {i} {h}} l_ {z} dt + cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd945b4cdb844f632e28b7294bf88c857cec226)
с участием
то
-компонента углового момента по классической перекрестное произведение.
Чтобы получить поворот на угол
, построим следующее дифференциальное уравнение, используя условие
:
![{ displaystyle operatorname {R} (z, t + dt) = operatorname {R} (z, t) operatorname {R} (z, dt) Rightarrow}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86079b490968b33224a27931b6a8831a576eb10d)
![{ displaystyle [ operatorname {R} (z, t + dt) - operatorname {R} (z, t)] / dt = d operatorname {R} / dt = operatorname {R} (z, t) [ operatorname {R} (z, dt) -1] / dt = - { frac {i} {h}} l_ {z} operatorname {R} (z, t) Rightarrow}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874d983321e6f7c30f11ffa15e791babde861e25)
![{ displaystyle operatorname {R} (z, t) = exp left (- { frac {i} {h}} t l_ {z} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ecfaa26adeb773b383f89b5f11e5b6a75880d5)
Подобно оператору сдвига, если нам задан гамильтониан
которые вращательно симметричны относительно
-ось,
подразумевает
. Этот результат означает, что угловой момент сохраняется.
Для спинового углового момента около
-ось просто заменяем
с участием
и мы получаем вращение оператор вращения
![{ displaystyle operatorname {D} (y, t) = exp left (-i { frac {t} {2}} sigma _ {y} right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88fe45cb07c51f8c46935ade704ca533e1fac61)
Влияние на оператор спина и квантовые состояния
Операторы могут быть представлены матрицы. От линейная алгебра известно, что некая матрица
может быть представлен в другом основа через преобразование
![{ displaystyle A '= PAP ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5134f4bfd775d0aec62b2d91bdedcf85691df8)
где
матрица преобразования базиса. Если векторы
соответственно
оси z в одном базисе соответственно в другом, они перпендикулярны оси y под определенным углом
между ними. Оператор спина
в первом базисе можно преобразовать в оператор спина
другого базиса посредством следующего преобразования:
![{ displaystyle S_ {c} = operatorname {D} (y, t) S_ {b} operatorname {D} ^ {- 1} (y, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c96ba469d07eed9ddef8c938f3de971f2b80bd8)
Из стандартной квантовой механики у нас есть известные результаты
и
где
и
- это верхние вращения в соответствующих базах. Итак, у нас есть:
![{ displaystyle { frac { hbar} {2}} | c + rangle = S_ {c} | c + rangle = operatorname {D} (y, t) S_ {b} operatorname {D} ^ {- 1} (y, t) | c + rangle Rightarrow}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bec23e41039b69920b739d03e61dca0ffd5f0b)
![{ displaystyle S_ {b} operatorname {D} ^ {- 1} (y, t) | c + rangle = { frac { hbar} {2}} operatorname {D} ^ {- 1} (y , t) | c + rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed072ea91917d39e91019b9360631fd67948d6fd)
В сравнении с
дает
.
Это означает, что если состояние
вращается вокруг
-ось под углом
, становится состояние
, результат, который можно обобщить на произвольные оси.
Смотрите также
использованная литература
- Л.Д. Ландау и Э.М.Лифшиц: Квантовая механика: нерелятивистская теория, Pergamon Press, 1985.
- P.A.M. Дирак: Принципы квантовой механики, Oxford University Press, 1958 г.
- Р. П. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс: Лекции Фейнмана по физике, Эддисон-Уэсли, 1965 г.
|
---|
Общее | Пространство и время | |
---|
Частицы | |
---|
Операторы для операторов | |
---|
|
---|
Квантовая | Фундаментальный | |
---|
Энергия | |
---|
Угловой момент | |
---|
Электромагнетизм | |
---|
Оптика | |
---|
Физика элементарных частиц | |
---|
|
---|