Минимальная поверхность Шварца - Википедия - Schwarz minimal surface

В дифференциальная геометрия, то Минимальные поверхности Шварца находятся периодический минимальные поверхности первоначально описанный Герман Шварц.

В 1880-х годах Шварц и его ученик Э. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности.[1][2] Позже они были названы Алан Шон в его основополагающем отчете, описывающем гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности.[3]

Поверхности были созданы с использованием аргументов симметрии: дано решение Проблема плато для многоугольника отражения поверхности через граничные линии также создают допустимые минимальные поверхности, которые можно непрерывно соединять с исходным решением. Если минимальная поверхность встречается с плоскостью под прямым углом, то зеркальное изображение в плоскости также может быть соединено с поверхностью. Следовательно, по подходящему начальному многоугольнику, вписанному в элементарную ячейку, можно построить периодические поверхности.[4]

Поверхности Шварца имеют топологический род 3 - минимальный род трехпериодических минимальных поверхностей.[5]

Они рассматривались как модели для периодических наноструктуры в блок-сополимеры, электростатические эквипотенциальные поверхности в кристаллах,[6] и гипотетические фазы графита с отрицательной кривизной.[7]

Шварц П («Примитив»)

Поверхность Schwarz P

Шен назвал эту поверхность «примитивной», потому что она состоит из двух переплетенных конгруэнтных лабиринтов, каждый из которых имеет форму надутой трубчатой ​​версии простой кубической решетки. В то время как стандартная P-поверхность имеет кубическую симметрию, элементарной ячейкой может быть любой прямоугольный ящик, создающий семейство минимальных поверхностей с той же топологией.[8]

Его можно аппроксимировать неявной поверхностью

.[9]

Поверхность P была рассмотрена для прототипирования. тканевые каркасы с высоким отношением площади поверхности к объему и пористостью.[10]

Schwarz D («Бриллиант»)

Поверхность Schwarz D

Шен назвал эту поверхность «ромб», потому что она состоит из двух переплетающихся конгруэнтных лабиринтов, каждый из которых имеет форму надутой трубчатой ​​версии структура алмазной связки. В литературе ее иногда называют F-поверхностью.

Его можно аппроксимировать неявной поверхностью

Существует точное выражение в терминах эллиптические интегралы, на основе Представительство Вейерштрасса.[11]

Schwarz H («шестиугольник»)

Поверхность Шварца H

Поверхность H похожа на катеноид с треугольной границей, позволяющей замостить пространство.

Schwarz CLP («Скрещенные слои параллелей»)

Поверхность Schwarz CLP

Иллюстрации

Рекомендации

  1. ^ Х. А. Шварц, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlin, 1933.
  2. ^ Э. Р. Неовиус, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen", Акад. Abhandlungen, Гельсингфорс, 1883 г.
  3. ^ Алан Х. Шен, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая записка НАСА TN D-5541 (1970)[1]
  4. ^ Герман Кархер, Конрад Польтье, «Построение трехпериодических минимальных поверхностей», Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А 16 сентября 1996 г. 354 нет. 1715 2077–2104
  5. ^ http://schoengeometry.com/e-tpms.html
  6. ^ Маккей, Алан Л. (апрель 1985 г.). «Периодические минимальные поверхности». Природа. 314 (6012): 604–606. Дои:10.1038 / 314604a0.
  7. ^ Terrones, H .; Маккей, А. Л. (декабрь 1994 г.). «Отрицательно искривленный графит и трипериодические минимальные поверхности». Журнал математической химии. 15 (1): 183–195. Дои:10.1007 / BF01277558.
  8. ^ W. H. Meeks. Теория трипериодических минимальных поверхностей. Математика Университета Индианы. Журнал, 39 (3): 877-936, 1990.
  9. ^ «Трехпериодические ровные поверхности». В архиве из оригинала на 2019-02-12. Получено 2019-02-10.
  10. ^ Джэмин Шин, Сонки Ким, Дараэ Чжон, Хён Гын Ли, Донгсун Ли, Чжун Ён Лим и Чжунсок Ким, Анализ методом конечных элементов геометрии пор поверхности Schwarz P для тканевых каркасов, Математические проблемы в инженерии, том 2012, ID статьи 694194 , DOI: 10.1155 / 2012/694194
  11. ^ Пол Дж. Ф. Ганди, Джурдже Цвийович, Алан Л. Маккей, Яцек Клиновски, Точное вычисление трехпериодической D ("алмазной") минимальной поверхности, Chemical Physics Letters, Volume 314, Issues 5–6, 10 декабря 1999, страницы 543–551