Гладкая алгебра - Википедия - Smooth algebra

В алгебра, коммутативный k-алгебра А как говорят 0-гладкий если он удовлетворяет следующему подъемному свойству: при заданном k-алгебра C, идеальный N из C чей квадрат равен нулю и k-алгебра карта , существует k-алгебра карта такой, что ты является v а затем каноническая карта. Если существует не более одного такого подъема v, тогда А как говорят 0-неразветвленный (или же 0-аккуратно). А как говорят 0-эталь если это 0-гладкий и 0-неразветвленный.

Конечно порожденный k-алгебра А 0-гладко k тогда и только тогда, когда Spec А это гладкая схема над k.

А отделяемый расширение алгебраического поля L из k 0-этальна k.[1] Формальное кольцо степенного ряда 0-гладко только когда и (т.е. k имеет конечный п-основа.)[2]

я-гладкий

Позволять B быть А-алгебра и предположим B дается я-адическая топология, я идеал B. Мы говорим B является я-сглаживать А если он удовлетворяет подъемным свойствам: с учетом А-алгебра C, идеальный N из C чей квадрат равен нулю и А-алгебра карта это непрерывно, когда задана дискретная топология, существует А-алгебра карта такой, что ты является v а затем каноническая карта. Как и раньше, если существует не более одного такого подъемника v, тогда B как говорят я- без разветвления А (или же я-аккуратный). B как говорят я-étale если это я-гладкий и я-не разветвленный. Если я - нулевой идеал и А - поле, эти понятия совпадают с 0-гладкостью и т. д., как определено выше.

Стандартный пример: пусть А несущий, и потом B является я-сглаживать А.

Позволять А быть нётерским местным жителем k-алгебра с максимальным идеалом . потом А является -сглаживать k если и только если является регулярным кольцом для любого конечного поля расширения из k.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мацумура 1986, Теорема 25.3
  2. ^ Мацумура 1986, стр. 215
  3. ^ Мацумура 1986, Теорема 28.7