Формула гладкого кочевища - Smooth coarea formula

В Риманова геометрия, то формулы гладкой области связывают интегралы по области определения некоторых отображений с интегралами по областям их областей.

Позволять ${displaystyle scriptstyle M ,, N}$ быть гладким Римановы многообразия соответствующих размеров ${displaystyle scriptstyle m, geq, n}$. Позволять ${displaystyle scriptstyle F: M, longrightarrow, N}$ быть гладким сюрприз так что pushforward (дифференциал) из ${displaystyle scriptstyle F}$ сюръективно почти всюду. Позволять ${displaystyle scriptstyle varphi: M, longrightarrow, [0, infty)}$ а измеримая функция. Тогда имеют место следующие два равенства:

${displaystyle int _ {xin M} varphi (x), dM = int _ {yin N} int _ {xin F ^ {- 1} (y)} varphi (x) {frac {1} {N! J; F (x)}}, dF ^ {- 1} (y), dN}$

${displaystyle int _ {xin M} varphi (x) N! J; F (x), dM = int _ {yin N} int _ {xin F ^ {- 1} (y)} varphi (x), dF ^ {-1} (y), dN}$

куда ${displaystyle scriptstyle N! J; F (x)}$ это нормальный якобиан из ${displaystyle scriptstyle F}$, то есть определитель производной, ограниченный ортогональным дополнением к ее ядру.

Обратите внимание, что из Лемма Сарда почти каждая точка ${displaystyle scriptstyle y, in, N}$ регулярная точка ${displaystyle scriptstyle F}$ а значит, множество ${displaystyle scriptstyle F ^ {- 1} (y)}$ является римановым подмногообразием в ${displaystyle scriptstyle M}$, поэтому интегралы в правой части формул выше имеют смысл.

Рекомендации

• Чавел, Исаак (2006) Риманова геометрия. Современное введение. Второе издание.

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.