Набор симметрии - Википедия - Symmetry set

An эллипс (красный), это эволюционировать (синий) и его набор симметрии (зеленый и желтый). то медиальная ось это просто зеленая часть набора симметрии. Показана одна двуугольная окружность.

В геометрия, то набор симметрии является методом представления локальной симметрии кривой и может использоваться как метод представления форма объектов путем нахождения топологический каркас. В медиальная ось, подмножество набора симметрии - это набор кривых, которые примерно проходят по середине объекта.

В 2-х измерениях

Позволять быть открытым интервалом, и - параметризация гладкой плоской кривой.

Набор симметрии определяется как замыкание множества центров окружностей, касающихся кривой хотя бы в двух различных точках (битангентный круги).

У набора симметрии будут конечные точки, соответствующие вершины кривой. Такие точки будут лежать в куспид из эволюционировать. В таких точках кривая будет иметь 4-точечный контакт с кругом.

В п размеры

Для гладкого многообразия размерности в (явно нам нужно ). Множество симметрии многообразия - это замыкание центров гиперсфер, касающихся многообразия как минимум в двух различных местах.

Как бифуркационный набор

Позволять быть открытым односвязным доменом и . Позволять - параметризация гладкого участка многообразия. параметрическое семейство функций на кривой, а именно

Это семейство называется семейством функций в квадрате расстояния. Это потому, что для фиксированного значение это квадрат расстояния от к в

Таким образом, набор симметрии является бифуркационным набором семейства функций в квадрате расстояния. Т.е. это набор такой, что имеет повторяющуюся особенность для некоторых

Под повторяющейся особенностью мы подразумеваем сингулярность матрицы якобиана. Поскольку у нас есть семейство функций, это эквивалентно .

Тогда набор симметрии - это набор такие, что существуют с , и

вместе с предельными точками этого множества.

Рекомендации

  • Дж. У. Брюс, П. Дж. Гиблин, К. Г. Гибсон, Наборы симметрии. Proc. Королевского общества Эдинбурга 101A (1985), 163-186.
  • Дж. В. Брюс и П. Дж. Гиблин, Кривые и сингулярности, издательство Кембриджского университета (1993).