Норма Терстона - Википедия - Thurston norm

В математике Терстон норма функция на втором группа гомологии ориентированного 3-х коллекторный представлен Уильям Терстон, который естественным образом измеряет топологическую сложность классов гомологии, представленных поверхностями.

Определение

Позволять быть дифференцируемое многообразие и . потом можно представить гладкой встраивание , куда это (обычно не связано) поверхность который компактный и без границ. Норма Терстона тогда определяется как[1]

,

где минимум берется по всем закладным поверхностям компоненты связности), представляющие как указано выше, и абсолютное значение Эйлерова характеристика для поверхностей, не являющихся сферами (и 0 для сфер).

Эта функция удовлетворяет следующим свойствам:

  • за ;
  • за .

Из этих свойств следует, что распространяется на функцию на которое затем можно продолжить по непрерывности до полунорма на .[2] К Двойственность Пуанкаре, можно определить норму Терстона на .

Когда компактно с краем, аналогичным образом определяется норма Терстона на относительная гомология группа и его двойственный по Пуанкаре .

Из дальнейшей работы Давид Габай[3] что можно также определить норму Терстона, используя только погруженный поверхности. Это означает, что норма Терстона также равна половине Громова норма по гомологии.

Топологические приложения

Норма Терстона была введена в связи с ее применением к волокна и слоения 3-многообразий.

Единичный шар нормы Терстона трехмерного многообразия это многогранник с целыми вершинами. Его можно использовать для описания структуры множества расслоений по кругу: если можно записать как отображение тор диффеоморфизма поверхности тогда вложение представляет класс в верхней (или открытой) грани : кроме того, все остальные целые точки на той же грани также являются слоями в таком расслоении.[4]

Вложенные поверхности, которые минимизируют норму Терстона в своем классе гомологий, являются в точности замкнутыми слоями слоений .[3]

Примечания

Рекомендации

  • Габай, Давид (1983). «Слоения и топология трехмерных многообразий». Журнал дифференциальной геометрии. 18: 445–503. МИСТЕР  0723813.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Терстон, Уильям (1986). «Норма для гомологии трехмерных многообразий». Мемуары Американского математического общества. 59 (33): i – vi и 99–130. МИСТЕР  0823443.CS1 maint: ref = harv (связь)