Расчет шкалы времени - Time-scale calculus

В математика, исчисление шкалы времени это объединение теории разностные уравнения с этим из дифференциальные уравнения, объединяющий интеграл и дифференциал исчисление с исчисление конечных разностей, предлагая формализм для изучения гибридных дискретно-непрерывных динамические системы. У него есть приложения в любой области, где требуется одновременное моделирование дискретных и непрерывных данных. Он дает новое определение производной, так что если дифференцировать функцию, определенную на действительных числах, то определение эквивалентно стандартному дифференцированию, но если использовать функцию, определенную на целых числах, то это эквивалентно форвардная разница оператор.

История

Исчисление шкалы времени было введено в 1988 году немецким математиком. Стефан Хильгер.^[1] Однако подобные идеи использовались раньше и восходят, по крайней мере, к введению Интеграл Римана – Стилтьеса., объединяющий суммы и интегралы.

Динамические уравнения

Многие результаты, касающиеся дифференциальных уравнений, довольно легко переносятся на соответствующие результаты для разностных уравнений, в то время как другие результаты кажутся полностью отличными от своих. непрерывный аналоги.^[2] Изучение динамических уравнений на шкалах времени выявляет такие расхождения и помогает избежать доказательства результатов дважды - один раз для дифференциальных уравнений и еще раз для разностных уравнений. Общая идея состоит в том, чтобы доказать результат для динамического уравнения, в котором область неизвестных функция - это так называемая шкала времени (также известная как набор времени), которая может быть произвольным замкнутым подмножеством вещественных чисел. Таким образом, результаты относятся не только к набор из действительные числа или набор целые числа но к более общим временным шкалам, таким как Кантор набор.

Три самых популярных примера исчисление по шкале времени дифференциальное исчисление, разностное исчисление, и квантовое исчисление. Динамические уравнения в масштабе времени имеют потенциал для приложений, таких как динамика населения. Например, они могут моделировать популяции насекомых, которые непрерывно развиваются в течение сезона, вымирают зимой, пока их яйца инкубируются или находятся в состоянии покоя, а затем вылупляются в новом сезоне, создавая неперекрывающуюся популяцию.

Формальные определения

А шкала времени (или же цепь измерения) это закрытое подмножество из реальная линия ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Обычное обозначение для общей шкалы времени: ${ displaystyle mathbb {T}}$.

Двумя наиболее часто встречающимися примерами шкал времени являются действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и дискретное время шкала ${ displaystyle h mathbb {Z}}$.

Отдельная точка на шкале времени определяется как:

${ displaystyle t: t in mathbb {T}}$

Операции на шкалах времени

Операторы прямого перехода, обратного перехода и зернистости в дискретной шкале времени

В прыжок вперед и прыжок назад операторы представляют собой ближайшую точку на шкале времени справа и слева от данной точки ${ displaystyle t}$, соответственно. Формально:

${ displaystyle sigma (t) = inf {s in mathbb {T}: s> t }}$ (оператор прямого сдвига / перехода)

${ Displaystyle rho (t) = sup {s in mathbb {T}: s$ (оператор обратного сдвига / перехода)

В зернистость ${ displaystyle mu}$ - это расстояние от точки до ближайшей точки справа и определяется как:

${ Displaystyle му (т) = сигма (т) -т.}$

Для правильной плотной ${ displaystyle t}$, ${ Displaystyle sigma (т) = т}$ и ${ Displaystyle му (т) = 0}$.
Для левого плотного ${ displaystyle t}$, ${ Displaystyle rho (т) = т.}$

Классификация очков

Несколько точек на шкале времени с разными классификациями

Для любого ${ displaystyle t in mathbb {T}}$, ${ displaystyle t}$ является:

• левый плотный если ${ Displaystyle rho (т) = т}$
• право плотный если ${ Displaystyle sigma (т) = т}$
• оставил разбросанным если ${ Displaystyle rho (т) <т}$
• разбросан вправо если ${ Displaystyle sigma (т)> т}$
• плотный если обе плотные слева и справа плотные
• изолированные если и слева, и справа, и справа

Как показано на рисунке справа:

• Точка ${ displaystyle t_ {1}}$ является плотный
• Точка ${ displaystyle t_ {2}}$ является левый плотный и разбросан вправо
• Точка ${ displaystyle t_ {3}}$ является изолированные
• Точка ${ displaystyle t_ {4}}$ является оставил разбросанным и право плотный

Непрерывность

Непрерывность шкалы времени переопределяется как эквивалент плотности. Шкала времени называется непрерывный вправо в точке ${ displaystyle t}$ если он плотный в точке ${ displaystyle t}$. Точно так же масштаб времени называется непрерывный слева в точке ${ displaystyle t}$ если он остается плотным в точке ${ displaystyle t}$.

Производная

Возьмите функцию:

${ displaystyle f: mathbb {T} rightarrow mathbb {R}}$,

(где ℝ может быть любым Банахово пространство, но для простоты установлена ​​реальная линия).

Определение: дельта-производная (также производная Хильгера) ${ Displaystyle f ^ { Delta} (т)}$ существует тогда и только тогда, когда:

Для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ существует район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle t}$ такой, что:

${ Displaystyle | е ( sigma (t)) - f (s) -f ^ { Delta} (t) ( sigma (t) -s) | leq varepsilon | sigma (t) -s | }$

для всех ${ displaystyle s}$ в ${ displaystyle U}$.

Брать ${ Displaystyle mathbb {T} = mathbb {R}.}$ потом ${ Displaystyle sigma (т) = т}$, ${ Displaystyle му (т) = 0}$, ${ displaystyle f ^ { Delta} = f '}$; производная, используемая в стандарте исчисление. Если ${ Displaystyle mathbb {T} = mathbb {Z}}$ (в целые числа ), ${ Displaystyle sigma (т) = т + 1}$, ${ Displaystyle му (т) = 1}$, ${ displaystyle f ^ { Delta} = Delta f}$ это оператор прямой разницы используется в разностных уравнениях.

Интеграция

В дельта-интеграл определяется как первообразная по отношению к дельта-производной. Если ${ Displaystyle F (т)}$ имеет непрерывную производную ${ Displaystyle f (t) = F ^ { Delta} (t)}$ один набор

${ Displaystyle int _ {r} ^ {s} f (t) Delta (t) = F (s) -F (r).}$

Преобразование Лапласа и z-преобразование

А Преобразование Лапласа может быть определен для функций на шкалах времени, которые используют одну и ту же таблицу преобразований для любой произвольной шкалы времени. Это преобразование можно использовать для решения динамических уравнений в масштабах времени. Если шкала времени - неотрицательные целые числа, тогда преобразование равно^[2] к измененному Z-преобразование:

${ displaystyle { mathcal {Z}} ' {x [z] } = { frac {{ mathcal {Z}} {x [z + 1] }} {z + 1}}}$

Частичная дифференциация

Уравнения с частными производными и уравнения в частных разностях унифицированы как частные динамические уравнения на временных масштабах.^[3][4][5]

Множественная интеграция

Множественная интеграция о временных масштабах рассматривается в Bohner (2005).^[6]

Стохастические динамические уравнения на временных масштабах

Стохастические дифференциальные уравнения а стохастические разностные уравнения могут быть обобщены на стохастические динамические уравнения во временных масштабах.^[7]

Теория меры на шкалах времени

С каждой шкалой времени связана естественная мера^[8][9] определяется через

${ displaystyle mu ^ { Delta} (A) = lambda ( rho ^ {- 1} (A)),}$

куда ${ displaystyle lambda}$ обозначает Мера Лебега и ${ displaystyle rho}$ - оператор обратного сдвига, определенный на ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Дельта-интеграл оказывается обычным Интеграл Лебега – Стилтьеса. по этой мере

${ displaystyle int _ {r} ^ {s} f (t) Delta t = int _ {[r, s)} f (t) d mu ^ { Delta} (t)}$

и дельта-производная оказывается Производная Радона – Никодима по этой мере^[10]

${ displaystyle f ^ { Delta} (t) = { frac {df} {d mu ^ { Delta}}} (t).}$

Распределения по шкалам времени

В Дельта Дирака и Дельта Кронекера унифицированы по шкале времени как Дельта Хильгера:^[11][12]

${ displaystyle delta _ {a} ^ { mathbb {H}} (t) = { begin {cases} { frac {1} { mu (a)}}, & t = a 0, & t neq a end {case}}}$

Интегральные уравнения на временных масштабах

Интегральные уравнения и уравнения суммирования унифицированы в виде интегральных уравнений на временных масштабах.^{[нужна цитата ]}

Дробное исчисление на шкалах времени

Дробное исчисление по шкале времени рассматривается в Бастосе, Мозырской и Торресе.^[13]

Смотрите также

• Анализ на фракталы для динамических уравнений на Кантор набор.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Агарвал, Рави; Бонер, Мартин; О’Реган, Донал; Петерсон, Аллан (2002). «Динамические уравнения на временных шкалах: обзор». Журнал вычислительной и прикладной математики. 141 (1–2): 1–26. Bibcode:2002JCoAM.141 .... 1A. Дои:10.1016 / S0377-0427 (01) 00432-0.
• Динамические уравнения на временных шкалах Специальный выпуск Журнал вычислительной и прикладной математики (2002)
• Динамические уравнения и приложения Специальный выпуск Успехи в разностных уравнениях (2006)
• Динамические уравнения на шкалах времени: качественный анализ и приложения Специальный выпуск Нелинейная динамика и теория систем (2009)

внешняя ссылка

• Группа шкал времени Университета Бэйлора
• Timescalewiki.org