Треугольная плитка - Википедия - Triangular tiling

Треугольная черепица
Треугольная черепица
ТипОбычная черепица
Конфигурация вершины3.3.3.3.3.3 (или 36)
Мозаика 3 vertfig.svg
Конфигурация лицаV6.6.6 (или V63)
Символ (ы) Шлефли{3,6}
{3[3]}
Символ (ы) Wythoff6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Диаграмма (ы) КокстераCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel узел h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel узел h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
Симметрияp6m, [6,3], (*632)
Симметрия вращенияp6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
ДвойнойШестиугольная черепица
ХарактеристикиВершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, лицо переходный

В геометрия, то треугольная черепица или же треугольная мозаика один из трех регулярных мозаики из Евклидова плоскость, и является единственной такой плиткой, в которой составляющие фигуры не параллелогоны. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольник составляет 60 градусов, шесть треугольников в точке занимают полные 360 градусов. Треугольная плитка имеет Символ Шлефли из {3,6}.

Конвей называет это дельтиль, названный от треугольной формы греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику также можно назвать кишекстиль по поцелуй операция, которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней гексилль.

Это один из три правильных мозаики плоскости. Два других - это квадратная черепица и шестиугольная черепица.

Равномерная окраска

2-однородная треугольная мозаика, 4 цветных треугольника, связанных с геодезический многогранник как {3,6+}2,0.

Есть 9 различных равномерные раскраски треугольной черепицы. (Назовите цвета индексами на 6 треугольниках вокруг вершины: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Три из них могут быть получены из других, повторяя цвета: 111212 и 111112 из 121213 по объединение 1 и 3, а 111213 уменьшено с 121314.[1]

Есть один класс Архимедовы раскраски, 111112, (отмечен знаком *), который не является 1-однородным, содержит чередующиеся ряды треугольников, где каждая треть окрашена. Показанный пример является 2-однородным, но существует бесконечно много таких архимедовых раскрасок, которые можно создать произвольным горизонтальным смещением строк.

111111121212111222112122111112(*)
Равномерная треугольная плитка 111111.pngРавномерная треугольная плитка 121212.pngРавномерная треугольная плитка 111222.pngРавномерная треугольная плитка 112122.png2-однородная треугольная плитка 111112.png
p6m (* 632)p3m1 (* 333)см (2 * 22)p2 (2222)p2 (2222)
121213111212111112121314111213
Равномерная треугольная плитка 121213.pngРавномерная треугольная плитка 111212.pngРавномерная треугольная плитка 111112.pngРавномерная треугольная плитка 121314.pngРавномерная треугольная плитка 111213.png
p31m (3 * 3)п3 (333)

Решетчатые и круглые упаковки А2

А*
2
решетка в виде трех треугольных мозаик: CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 10lu.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 01ld.png

В расположение вершин треугольной мозаики называется А2 решетка.[2] Это двумерный случай простые соты.

А*
2
решетка (также называемая A3
2
) можно построить объединением всех трех A2 решеток и эквивалентны A2 решетка.

CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 10lu.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 01ld.png = двойной CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png

Вершины треугольной мозаики являются центрами максимально плотных упаковка круга.[3] Каждый круг находится в контакте с 6 другими кругами в упаковке (номер поцелуя ). Плотность упаковки составляетπ12 или 90,69%. В клетка Вороного треугольной мозаики является шестиугольник, и поэтому мозаика Вороного шестиугольная мозаика напрямую соответствует упаковкам окружностей.

1-униформа-11-circlepack.svg

Геометрические вариации

Треугольные мозаики могут быть построены с такой же топологией {3,6}, что и обычные мозаики (6 треугольников вокруг каждой вершины). С одинаковыми лицами (лицо-транзитивность ) и вершинная транзитивность, существует 5 вариантов. Приведенная симметрия предполагает, что все грани одного цвета.[4]

Связанные многогранники и мозаики

Плоские мозаики связаны с многогранники. Помещение меньшего количества треугольников в вершину оставляет зазор и позволяет сложить его в пирамида. Их можно расширить до Платоновы тела: пять, четыре и три треугольника на вершине определяют икосаэдр, октаэдр, и тетраэдр соответственно.

Это разбиение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с Символы Шлефли {3, n}, переходя в гиперболическая плоскость.

Он также топологически связан как часть последовательности Каталонские твердые вещества с конфигурация лица Vn.6.6, а также в гиперболическую плоскость.

Triakistetrahedron.jpg
V3.6.6
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Pentakisdodecahedron.jpg
V5.6.6
Однородный многогранник-63-t2.png
V6.6.6
Heptakis семиугольная плитка.svg
V7.6.6

Конструкции Wythoff из шестиугольных и треугольных мозаик

Словно равномерные многогранники есть восемь однородные мозаики это может быть основано на правильном шестиугольном замощении (или двойном треугольном замощении).

Нарисовывая плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, можно получить 8 форм, 7 из которых топологически различны. (The усеченная треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Связанные регулярные сложные апейрогоны

Есть 4 регулярные сложные апейрогоны, разделяющие вершины треугольной мозаики. Регулярные сложные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Обычные апейрогоны п{q}р ограничены: 1 /п + 2/q + 1/р = 1. Ребра имеют п вершины, а фигуры вершин - р-гональный.[5]

Первый состоит из двух ребер, следующие два - треугольные, а последний имеет перекрывающиеся шестиугольные ребра.

Комплекс апейрогон 2-6-6.pngКомплекс апейрогон 3-4-6.pngКомплекс апейрогон 3-6-3.pngКомплекс апейрогон 6-3-6.png
2 {6} 6 или CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel 6node.png3 {4} 6 или CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 6node.png3 {6} 3 или CDel 3node 1.pngCDel 6.pngCDel 3node.png6 {3} 6 или CDel 6node 1.pngCDel 3.pngCDel 6node.png

Другие треугольные мозаики

Также есть три Лавес плитки состоит из однотипных треугольников:

1-униформа 3 dual.svg
Kisrhombille
30 ° -60 ° -90 ° прямоугольные треугольники
1-униформа 2 dual.svg
Kisquadrille
45 ° -45 ° -90 ° прямоугольные треугольники
1-униформа 4 dual.svg
Кисделтиле
30 ° -30 ° -120 ° равнобедренные треугольники

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Плитки и узоры, стр.102-107
  2. ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html
  3. ^ Порядок в космосе: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр.74-75, образец 1
  4. ^ Мозаики и узоры, из списка 107 равногранных мозаик, стр.473-481
  5. ^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, с. 111-112, с. 136.
  • Кокстер, H.S.M. Правильные многогранники, (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 п. 296, Таблица II: Обычные соты
  • Грюнбаум, Бранко И Шепард, Г.С. (1987). Плитки и узоры. Нью-Йорк: У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-1193-1. (Глава 2.1: Регулярные и однородные мозаики, п. 58-65, Глава 2.9 Архимедовы и однородные раскраски стр. 102–107)
  • Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. p35
  • Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]

внешняя ссылка

КосмосСемья / /
E2Равномерная черепица{3[3]}δ333Шестиугольный
E3Равномерно выпуклые соты{3[4]}δ444
E4Равномерные 4-соты{3[5]}δ55524-ячеечные соты
E5Равномерные 5-соты{3[6]}δ666
E6Равномерные 6-соты{3[7]}δ777222
E7Равномерные 7-соты{3[8]}δ888133331
E8Равномерные 8-соты{3[9]}δ999152251521
E9Равномерные 9-соты{3[10]}δ101010
Eп-1Униформа (п-1)-соты{3[n]}δппп1k22k1k21