Трилинейная полярность - Википедия - Trilinear polarity

В геометрия, трилинейная полярность есть определенное соответствие между точками плоскости треугольника, не лежащими на сторонах треугольника, и прямыми в плоскости треугольника, не проходящими через вершины треугольника. «Хотя это называется полярностью, на самом деле это вовсе не полярность, поскольку полюса параллельных линий не являются коллинеарными линиями».[1] Это было Понселе (1788–1867), французский инженер и математик, который представил идею трилинейной полярной точки в 1865 году.[1][2]

Определения

Диаграмма, иллюстрирующая определение трилинейной полярной точки.

Позволять ABC - плоский треугольник и пусть п - любая точка в плоскости треугольника, не лежащая на сторонах треугольника. Вкратце, трилинейный полярный из п это ось перспективности из чевианский треугольник из п и треугольник ABC.

Подробно пусть строчка AP, BP, CP встретиться на обочине до н.э, CA, AB в D, E, F соответственно. Треугольник DEF это Чевианский треугольник из п со ссылкой на треугольник ABC. Пусть пары прямых (до н.э, EF), (CA, FD), (DE, AB) пересекаются в Икс, Y, Z соответственно. К Теорема дезарга точки Икс, Y, Z находятся коллинеарен. Линия коллинеарности - ось перспективности треугольника. ABC и треугольник DEF. Линия XYZ это трилинейная полярная точка п.[1]

Точки Икс, Y, Z также могут быть получены как гармонические сопряжения D, E, F относительно пар точек (B,C), (C, А), (А, B) соответственно. Понселе использовал эту идею для определения концепции трилинейных полярных координат.[1]

Если линия L это трилинейная полярная точка п относительно контрольного треугольника ABC тогда п называется трехлинейный полюс линии L относительно контрольного треугольника ABC.

Трилинейное уравнение

Пусть трилинейные координаты точки п быть (п : q : р). Тогда трилинейное уравнение трилинейной поляры п является[3]

Икс / п + у / q + z / р = 0.

Построение трехлинейной опоры

Схема, показывающая построение трехлинейного полюса данной линии XYZ

Пусть линия L встретить стороны до н.э, CA, AB треугольника ABC в Икс, Y, Z соответственно. Пусть пары прямых (К, CZ), (CZ, ТОПОР), (ТОПОР, К) встретиться в U, V, W. Треугольники ABC и UVW в перспективе и пусть п быть центр перспективы. п это трехлинейный полюс линии L.

Некоторые трилинейные поляры

Некоторые из трехлинейных поляров хорошо известны.[4]

Столбы карандашей линий

Анимация, иллюстрирующая тот факт, что геометрическое место трехлинейных полюсов пучка прямых, проходящих через фиксированную точку K, является описанной конической точкой контрольного треугольника.

Позволять п с трилинейными координатами ( Икс : Y : Z ) - полюс прямой, проходящей через неподвижную точку K с трилинейными координатами ( Икс0 : у0 : z0 ). Уравнение линии

  • Икс / Икс + у / Y + z / Z =0.

Поскольку это проходит через K,

  • Икс0 / Икс + у0 / Y + z0 / Z =0.

Таким образом, локус п является

  • Икс0 / Икс + у0 / у + z0 / z =0.

Это circumconic треугольника ссылки ABC. Таким образом, геометрическое место полюсов пучка прямых, проходящих через фиксированную точку, является описанной коникой исходного треугольника.

Рекомендации

  1. ^ а б c d Кокстер, H.S.M. (1993). Реальная проективная плоскость. Springer. С. 102–103. ISBN  9780387978895.
  2. ^ Кокстер, H.S.M. (2003). Проективная геометрия. Springer. стр.29. ISBN  9780387406237.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейная полярная». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 31 июля 2012.
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Трехлинейный полюс». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 8 августа 2012.

внешняя ссылка