Формулы Виета - Википедия - Vietas formulas

В математика, Формулы Виета находятся формулы которые связаны с коэффициенты из многочлен к суммам и произведениям его корни. Названный в честь Франсуа Виет (чаще упоминается латинизированной формой его имени, «Франциск Виета»), формулы используются специально в алгебра.

Основные формулы

Любой общий многочлен степени п

(с коэффициентами действительные или комплексные числа и ап ≠ 0) известен основная теорема алгебры иметь п (не обязательно разные) сложные корни р1, р2, ..., рп. Формулы Виета связывают коэффициенты полинома со знаковыми суммами произведений корней р1, р2, ..., рп следующее:

Формулы Виета могут быть записаны в виде

за k = 1, 2, ..., п (индексы яk сортируются в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждый продукт k корни используется ровно один раз.

Левые части формул Виета - это элементарные симметричные функции корней.

Обобщение на кольца

Формулы Виета часто используются с многочленами с коэффициентами в любых область целостности р. Тогда частные принадлежат к кольцо дробей из р (и, возможно, находятся в р сам, если оказывается обратимым в р) и корни взяты в алгебраически замкнутое расширение. Обычно р кольцо целые числа, поле дробей - это поле рациональное число а алгебраически замкнутое поле - это поле сложные числа.

В этом случае полезны формулы Виета, поскольку они обеспечивают связь между корнями без необходимости их вычислять.

Для многочленов над коммутативным кольцом, которое не является областью целостности, формулы Виета верны только тогда, когда не является делителем нуля и факторы как . Например, в кольце целых чисел по модулю 8 полином имеет четыре корня: 1, 3, 5 и 7. Формулы Виета неверны, если, скажем, и , потому что . Тем не мение, учитывается как и, как , и формулы Виета верны, если положить либо и или же и .

Пример

Формулы Виета применимы к квадратичным и кубическим полиномам:

Корни из квадратичный многочлен удовлетворить

Первое из этих уравнений можно использовать, чтобы найти минимум (или максимум) п; видеть Квадратное уравнение § формулы Виета.

Корни из кубический многочлен удовлетворить

Доказательство

Формулы Виета можно доказать, разложив равенство

(что верно, поскольку являются корнями этого многочлена), умножая множители в правой части и определяя коэффициенты при каждой степени

Формально, если расширить условия точно куда либо 0, либо 1, соответственно, в зависимости от того, входит в продукт или нет, и k это количество которые исключены, поэтому общее количество факторов в продукте равно п (считая с множеством k) - как есть п бинарный выбор (включая или же Икс), Существуют термины - геометрически их можно понимать как вершины гиперкуба. Группировка этих членов по степени дает элементарные симметричные многочлены от - за Иксk, все отличные kскладные изделия из

История

Как видно из названия, формулы были обнаружены французским математиком 16 века. Франсуа Виет, для случая положительных корней.

По мнению британского математика XVIII века Чарльз Хаттон, как цитирует Funkhouser,[1] общий принцип (не только для положительных действительных корней) был впервые понят французским математиком 17 века Альбер Жирар:

... [Жирар] был первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

Смотрите также

Рекомендации

  • "Теорема Вьете", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  • Фанкхаузер, Х. Грей (1930), "Краткое изложение истории симметричных функций корней уравнений", Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 37 (7): 357–365, Дои:10.2307/2299273, JSTOR  2299273
  • Винберг, Э. (2003), Курс алгебры, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  0-8218-3413-4
  • Джукич, Душан; и другие. (2006), Сборник ИМО: сборник задач, предложенных для Международной математической олимпиады 1959–2004 гг., Спрингер, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  0-387-24299-6