Дзета-функция Виттена - Witten zeta function

В математика, то Дзета-функция Виттена, является функцией, связанной с корневая система который кодирует степени неприводимые представления соответствующих Группа Ли. Эти дзета-функции были введены Доном Загиром, который назвал их в честь исследования Эдварда Виттена их особых значений (среди прочего) в.^[1][2] Обратите внимание, что дзета-функции Виттена не появляются как явные объекты сами по себе в.^[2]

Определение

Если ${ displaystyle G}$ компактная полупростая группа Ли, ассоциированная дзета-функция Виттена является (мероморфным продолжением) ряда

${ displaystyle zeta _ {G} (s) = sum _ { rho} { frac {1} {( dim rho) ^ {s}}},}$

где сумма берется по классам эквивалентности неприводимых представлений ${ displaystyle G}$.

В случае, когда ${ displaystyle G}$ связно и односвязно, соответствие между представлениями ${ displaystyle G}$ и ее алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля следует, что ${ displaystyle zeta _ {G} (s)}$ можно записать как

${ displaystyle sum _ {m_ {1}, dots, m_ {r}> 0} prod _ { alpha in Phi ^ {+}} { frac {1} { langle alpha ^ { lor}, m_ {1} lambda _ {1} + cdots + m_ {r} lambda _ {r} rangle ^ {s}}},}$

где ${ displaystyle Phi ^ {+}}$ обозначает множество положительных корней, ${ Displaystyle { lambda _ {я} }}$ представляет собой набор простых корней и ${ displaystyle r}$ это звание.

Примеры

• ${ Displaystyle zeta _ {SU (2)} (s) = zeta (s)}$, дзета-функция Римана.
• ${ displaystyle zeta _ {SU (3)} (s) = sum _ {x = 1} ^ { infty} sum _ {y = 1} ^ { infty} { frac {1} {( xy (x + y) / 2) ^ {s}}}.}$

Абсцисса схождения

Если ${ displaystyle G}$ проста и односвязна, абсцисса сходимости ${ displaystyle zeta _ {G} (s)}$ является ${ Displaystyle г / каппа}$, где ${ displaystyle r}$ это звание и ${ displaystyle kappa = | Phi ^ {+} |}$. Эта теорема принадлежит Алексу Любоцки и Майклу Ларсену.^[3] Новое доказательство дают Йокке Хяся и Александр Стасинский в.^[4] Доказательство в ^[4] дает более общий результат, а именно дает явное значение (в терминах простой комбинаторики) абсцисс сходимости любой "дзета-функции Меллина" вида

${ displaystyle sum _ {x_ {1}, dots, x_ {r} = 1} ^ { infty} { frac {1} {P (x_ {1}, dots, x_ {r}) ^ {s}}},}$

где ${ Displaystyle P (x_ {1}, dots, x_ {r})}$ является произведением линейных многочленов с неотрицательными действительными коэффициентами.

использованная литература

Эта алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.