Представительство Бурау - Burau representation

В математика в Представительство Бурау это представление из группы кос, названный в честь немецкого математика и первоначально изученный им. Вернер Бурау^[1] в течение 1930-х гг. В Представительство Бурау имеет две общие и почти эквивалентные формулировки: уменьшенный и невосстановленный Представления Бурау.

Определение

Покрытие

C п

Конкретно это можно представить так: разрезать диск по линиям от границы до отмеченных точек. Возьмите столько копий результата, сколько есть целых чисел, сложите их вертикально и соедините пандусами, идущими от одной стороны разреза на одном уровне к другой стороне разреза на уровне ниже. Эта процедура показана здесь для

п = 4

; покрывающие преобразования

т \pm1

действовать, перемещая пространство по вертикали.

Рассмотрим группа кос $B п$ быть группа классов отображения диска с $п$ отмеченные точки $D п$ . В группа гомологии $ЧАС 1 (D п)$ свободный абелев ранг $п$ . Более того, инвариантное подпространство $ЧАС 1 (D п)$ (под действием $B п$ ) примитивно и бесконечно циклически. Позволять $π : ЧАС 1 (D п) \to Z$ - проекция на это инвариантное подпространство. Тогда есть покрывающее пространство $C п$ соответствующая этой карте проекции. Как и в конструкции Полином александра, учитывать $ЧАС 1 (C п)$ как модуль над групповым кольцом накрывающих преобразований $Z [Z]$ , которое изоморфно кольцу Полиномы Лорана $Z [т, т -1]$ . Как $Z [т, т -1]$ -модуль, $ЧАС 1 (C п)$ не имеет звания $п - 1$ . По основной теории покрытия пространства, $B п$ действует на $ЧАС 1 (C п)$ , и это представление называется сокращенное представление Бурау.

В нередуцированное представление Бурау имеет аналогичное определение, а именно заменяет $D п$ с этими (реальный, ориентированный) взрыв в отмеченных точках. Тогда вместо того, чтобы рассматривать $ЧАС 1 (C п)$ рассматривается относительная гомология $ЧАС 1 (C п, Γ)$ куда $γ \subset D п$ часть границы $D п$ соответствующая операции раздува вместе с одной точкой на границе диска. $Γ$ обозначает подъем $γ$ к $C п$ . Как $Z [т, т -1]$ -модуль не имеет ранга $п$ .

Посредством гомология длинная точная последовательность пары, представления Бурау укладываются в короткую точную последовательность

0 \to V р \to V ты \to D \oplus Z [т, т -1] \to 0,

куда $V р$ (соотв. $V ты$ ) является приведенным (соответственно неприведенным) Бурау $B п$ -модуль и $D \subset Z п$ является дополнением к диагональному подпространству, другими словами:

{ Displaystyle D = left { left (x_ {1}, cdots, x_ {n} right) in mathbf {Z} ^ {n}: x_ {1} + cdots + x_ {n } = 0 right },}

и $B п$ действует на $Z п$ представлением перестановки.

Явные матрицы

Позволять $σ я$ обозначим стандартные образующие группы кос $B п$ . Тогда нередуцированное представление Бурау может быть явно задано отображением

{ displaystyle sigma _ {i} mapsto left ({ begin {array} {c | cc | c} I_ {i-1} & 0 & 0 & 0 hline 0 & 1-t & t & 0 0 & 1 & 0 & 0 hline 0 & 0 & 0 & I_ { ni-1} end {array}} right),}

за $1 \leq я \leq п - 1$ , куда $я k$ обозначает $k \times k$ единичная матрица. Аналогичным образом для $п \geq 3$ редуцированное представление Бурау дается формулой

{ displaystyle sigma _ {1} mapsto left ({ begin {array} {cc | c} -t & 1 & 0 0 & 1 & 0 hline 0 & 0 & I_ {n-3} end {array}} right), }

{ displaystyle sigma _ {i} mapsto left ({ begin {array} {c | ccc | c} I_ {i-2} & 0 & 0 & 0 & 0 hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & t & -t & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 hline 0 & 0 & 0 & 0 & I_ {ni-2} end {array}} right), quad 2 leq i leq n-2,}

{ displaystyle sigma _ {n-1} mapsto left ({ begin {array} {c | cc} I_ {n-3} & 0 & 0 hline 0 & 1 & 0 0 & t & -t end {array}} верно),}

в то время как для $п = 2$ , он отображает

{ displaystyle sigma _ {1} mapsto left (-t right).}

Интерпретация боулинга

Воан Джонс^[2] дал следующую интерпретацию нередуцированного представления Бурау положительных кос для $т$ в $[0,1]$ - то есть для кос, которые являются словами в стандартных генераторах групп кос, не содержащих обратных, что непосредственно следует из приведенного выше явного описания:

Учитывая положительную косу $σ$ на $п$ пряди, интерпретируйте это как боулинг с $п$ переплетающиеся переулки. Теперь бросьте шар для боулинга на одну из дорожек и предположите, что на каждом перекрестке, где его путь пересекает другую полосу, он с вероятностью падает. $т$ и продолжается по нижней полосе. Тогда $(я, j)$ '-я запись нередуцированного изображения Бурау $σ$ вероятность того, что мяч брошен в $я$ переулок заканчивается в $j$ пер.

Связь с полиномом Александера

Если узел $K$ это закрытие косы $ж$ в $B п$ , то с точностью до умножения на единицу в $Z [т, т -1]$ , то Полином александра $Δ K (т)$ из $K$ дан кем-то

{ displaystyle { frac {1-t} {1-t ^ {n}}} det (I-f _ {*}),}

куда $ж *$ - приведенное представление Бурау косы $ж$ .

Например, если $ж = σ 1 σ 2$ в $B 3$ , можно найти, используя явные матрицы выше, что

{ displaystyle { frac {1-t} {1-t ^ {n}}} det (I-f _ {*}) = t,}

и закрытие $ж *$ узел, полином Александера которого равен $1$ .

Верность

Первые неверные представления Бурау были обнаружены Джоном А. Муди без использования компьютера, с использованием понятия номер намотки или контурная интеграция.^[3] Более концептуальное понимание, благодаря Даррену Д. Лонгу и Марку Пэйтону^[4] интерпретирует соединение или обмотку как исходящую от Двойственность Пуанкаре в первых гомологиях относительно базовой точки накрывающего пространства и использует форма пересечения (традиционно называемый формой Сквайера, поскольку Крейг Сквайер первым исследовал его свойства).^[5] Стивен Бигелоу объединили компьютерные методы и теорему Лонга – Патона, чтобы показать, что представление Бурау не является точным для $п \geq 5$ .^[6]^[7]^[8] Более того, Бигелоу предоставляет явный нетривиальный элемент в ядре в виде слова в стандартных генераторах группы кос: let

{ Displaystyle psi _ {1} = sigma _ {3} ^ {- 1} sigma _ {2} sigma _ {1} ^ {2} sigma _ {2} sigma _ {4} ^ {3} sigma _ {3} sigma _ {2}, quad psi _ {2} = sigma _ {4} ^ {- 1} sigma _ {3} sigma _ {2} sigma _ {1} ^ {- 2} sigma _ {2} sigma _ {1} ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} sigma _ {1} sigma _ {4} ^ {5 }.}

Тогда элемент ядра задается коммутатором

{ displaystyle [ psi _ {1} ^ {- 1} sigma _ {4} psi _ {1}, psi _ {2} ^ {- 1} sigma _ {4} sigma _ {3 } sigma _ {2} sigma _ {1} ^ {2} sigma _ {2} sigma _ {3} sigma _ {4} psi _ {2}].}

Представительство Бурау для $п = 2, 3$ известен как верный в течение некоторого времени. Верность представления Бурау, когда $п = 4$ это открытая проблема. Представление Бурау появляется как слагаемое Представительство Джонса, и для $п = 4$ , верность представления Бурау эквивалентна верности представления Джонса, что, с другой стороны, связано с вопросом о том, действительно ли Многочлен Джонса является детектор узлов.^[9]

Геометрия

Крейг Сквайер показал, что представление Бурау сохраняет полуторалинейная форма.^[5] Более того, когда переменная $т$ выбрана трансцендентной единицей комплексное число возле $1$ , это положительно определенный Эрмитовское спаривание. Таким образом, представление Бурау группы кос $B п$ можно рассматривать как карту в унитарная группа U (п).

внешняя ссылка

"Теорема Бурау ", Узел Атлас.

[burau-1] Бурау, Вернер (1936). "Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 11: 179–186. Дои:10.1007 / bf02940722.

[Jones-2] Джонс, Воан (1987). "Представления алгебры Гекке групп кос и полиномов зацепления". Анналы математики. Вторая серия. 126 (2): 335–388. Дои:10.2307/1971403. JSTOR 1971403.

[3] Муди, Джон Этвелл (1993), "Вопрос верности представления Бурау", Труды Американского математического общества, 119 (2): 671–679, Дои:10.1090 / с0002-9939-1993-1158006-х, JSTOR 2159956, МИСТЕР 1158006

[lp-4] Лонг, Даррен Д .; Патон, Марк (1993), "Представление Бурау не соответствует действительности ${ displaystyle n geq 6}$ ", Топология, 32 (2): 439–447, Дои:10.1016 / 0040-9383 (93) 90030-У, МИСТЕР 1217079

[squier-5] а ^б Сквайер, Крейг С. (1984). «Представительство Бурау унитарно». Труды Американского математического общества. 90 (2): 199–202. Дои:10.2307/2045338. JSTOR 2045338.

[bigelow-6] Бигелоу, Стивен (1999). "Представление Бурау не соответствует действительности $п = 5$ ". Геометрия и топология. 3: 397–404. arXiv:математика / 9904100. Дои:10.2140 / gt.1999.3.397.

[icm-7] С. Бигелоу,Международный конгресс математиков, Пекин, 2002 г.

[8] Владимир Тураев, Точные представления групп кос, Бурбаки, 1999-2000 гг.

[bigelowunknot-9] Бигелоу, Стивен (2002). «Обнаруживает ли многочлен Джонса развязку?». Журнал теории узлов и ее разветвлений. 11 (4): 493–505. arXiv:математика / 0012086. Дои:10.1142 / s0218216502001779.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]