Задача о равностепенной точке - Википедия - Equichordal point problem

В Евклидова плоская геометрия, то равностепенная точечная задача это вопрос, есть ли закрыто планарный выпуклое тело может иметь два равновеликие точки.[1] Первоначально проблема была поставлена ​​в 1916 г. Фудзивара, а в 1917 г. Вильгельм Блашке, Герман Роте, и Роланд Вайтценбёк.[2] На обобщение этой постановки проблемы в 1997 г. дал отрицательный ответ Марек Р. Рычлик.[3]

Постановка задачи

Эквихордовая кривая - это замкнутая плоская кривая, для которой существует точка на плоскости такая, что все аккорды проходящие через эту точку равны по длине.[4] Такая точка называется равновеликая точка. Равно-хордовые кривые легко построить с помощью единственной равно-хордовой точки,[4] особенно когда кривые симметричный;[5] самая простая конструкция - это круг.

Давно только высказывались предположения, что выпуклой равноствольной кривой с двумя равно-хордовыми точками существовать не может. В более общем плане спросили, существует ли Кривая Иордании с двумя равновеликие точки и , такая, что кривая было бы звездообразный по каждой из двух точек.[1][3]

Эксцентриситет (или эксцентриситет)

Многие результаты по равноправным кривым относятся к их эксцентриситету. Оказывается, что чем меньше эксцентриситет, тем сложнее опровергнуть существование кривых с двумя равновинными точками. Можно строго показать, что небольшая эксцентриситет означает, что кривая должна быть близка к окружности.[6]

Позволять быть гипотетическим выпуклый изгиб с двумя равновеликие точки и . Позволять - общая длина всех хорд кривой проходя через или же . Тогда эксцентриситет - это отношение

куда это расстояние между точками и .

История проблемы

Проблема широко изучалась, и за восемь десятилетий до ее решения были опубликованы важные статьи:

  1. В 1916 году Фудзивара[7] доказал, что выпуклых кривых с тремя равностепенными точками не существует.
  2. В 1917 году Блашке, Роте и Вайтценбек[2] снова сформулировал проблему.
  3. В 1923 году Зюсс показал определенную симметрию и уникальность кривой, если она существует.
  4. В 1953 г. Дж. А. Дирак показал некоторые явные ограничения на кривую, если таковая существует.
  5. В 1958 году Вирсинг[8] показал, что кривая, если она существует, должна быть аналитическая кривая. В этой глубокой статье он правильно определил проблему как проблема возмущения вне всех порядков.
  6. В 1966 году Эрхарт[9] доказано, что эквихордовых кривых с эксцентриситетом> 0,5 не существует.
  7. В 1988 г. Мичелаччи доказал, что не существует равноправных кривых с эксцентриситетом> 0,33. Доказательство слегка компьютеризировано.
  8. В 1992 году Шефке и Фолькмер[6] показал, что существует не более конечного числа значений эксцентриситета, при которых кривая может существовать. Они изложили возможную стратегию компьютерного доказательства. Их метод состоит в получении очень точных приближений к гипотетической кривой.
  9. В 1996 году Рычлик[3] полностью решил проблему.

Доказательство Рычлика

Доказательство Марека Рычлика опубликовано в трудночитаемой статье.[3]Существует также легко читаемая, свободно доступная в Интернете статья с объявлением об исследовании,[10] но это только намекает на идеи, использованные в доказательстве.

Доказательство не использует компьютер. Вместо этого он вводит комплексирование исходной задачи и развивает обобщение теории нормально гиперболические инвариантные кривые и стабильные многообразия к многозначным картам . Этот метод позволяет использовать глобальные методы комплексный анализ. Прототипная глобальная теорема - это Теорема Лиувилля. Другая глобальная теорема Теорема Чоу. При доказательстве Теорема Ушики.[11]

Смотрите также

Также изучались аналогичные проблемы и их обобщения.

  1. В задача о равноправной точке
  2. Генерал хордовая проблема Гарднера
  3. Проблема с точки зрения оборудования

Рекомендации

  1. ^ а б Виктор Клее; Стандартный вагон (1991), Старые и новые нерешенные проблемы геометрии плоскости и теории чисел, Математическая ассоциация Америки, Дои:10.2277/0883853159, ISBN  978-0-88385-315-3
  2. ^ а б W. Blaschke, W. Rothe и R. Weitztenböck. Aufgabe 552. Arch. Математика. Физ., 27:82, 1917
  3. ^ а б c d Марек Р. Рихлик (1997), "Полное решение проблемы равностепенной точки Фудзивары, Блашке, Роте и Вайтценбека", Inventiones Mathematicae, 129 (1): 141–212, Bibcode:1997InMat.129..141R, Дои:10.1007 / s002220050161
  4. ^ а б Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0619-7
  5. ^ Ференц Адорьян (18 марта 1999 г.), Эквихордовые кривые и их применение - геометрия без пульсационного насоса (PDF)
  6. ^ а б Р. Шефке и Х. Фолькмер, Асимптотический анализ задачи о равных корнях, J. Reine Angew. Математика. 425 (1992), 9–60
  7. ^ М. Фудзивара. Über die Mittelkurve zweier geschlossenen konvexen Curven in Bezug auf einen Punkt. Тохоку Матх Дж., 10: 99–103, 1916 г.
  8. ^ Э. Вирсинг, Zur Analytisität von Doppelspeichkurven, Arch. Математика. 9 (1958), 300–307.
  9. ^ R. Ehrhart, Un ovale à deux points isocordes ?, Enseignement Math. 13 (1967), 119–124
  10. ^ Марек Рычлик, Задача о равнодоступной точке, Объявления об электронных исследованиях AMS, 1996 г., страницы 108–123, доступно в Интернете по адресу [1]
  11. ^ С. Ушики. Sur les liaisons-cols des systèmes Dynamiques analytiques. C. R. Acad. Sci. Париж, 291 (7): 447–449, 1980 г.