Следы неравенства - Википедия - Trace inequality

В математика, есть много видов неравенство с участием матрицы и линейные операторы на Гильбертовы пространства. В статье рассматриваются некоторые важные операторные неравенства, связанные с следы матриц.[1][2][3][4]

Основные определения

Позволять ЧАСп обозначим пространство Эрмитский п×п матрицы, ЧАСп+ обозначим множество, состоящее из положительный полуопределенный п×п Эрмитовы матрицы и ЧАСп++ обозначим множество положительно определенный Эрмитовы матрицы. Для операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве мы требуем, чтобы они были класс трассировки и самосопряженный, и в этом случае применяются аналогичные определения, но для простоты мы обсуждаем только матрицы.

Для любой действительной функции ж на интервале я ⊂ ℝ, можно определить матричная функция f (А) для любого оператора АЧАСп с собственные значения λ в я путем определения его на собственных значениях и соответствующих проекторы п в качестве

Учитывая спектральное разложение

Оператор монотонный

Функция ж: я → ℝ определенный на интервале я ⊂ ℝ называется оператор монотонный если ∀п, и все А, БЧАСп с собственными значениями в я, имеет место

где неравенство А ≥ В означает, что оператор АB ≥ 0 положительно полуопределенный. Можно проверить, что f (A) = A2 на самом деле нет оператор монотонный!

Оператор выпуклый

Функция как говорят оператор выпуклый если для всех и все А, БЧАСп с собственными значениями в я, и , имеет место

Обратите внимание, что оператор имеет собственные значения в , поскольку и иметь собственные значения в я.

Функция является оператор вогнутый если операторно выпуклый, т. е. приведенное выше неравенство для обратный.

Выпуклость суставов

Функция , определенные на интервалах как говорят совместно выпуклый если для всех и все с собственными значениями в и все с собственными значениями в , и любые следующее имеет место

Функция грамм является совместно вогнутый если -грамм является совместно выпуклым, т. е. приведенное выше неравенство для грамм обратный.

Функция трассировки

Учитывая функцию ж: ℝ → ℝ ассоциированный функция трассировки на ЧАСп дан кем-то

куда А имеет собственные значения λ а Tr означает a след оператора.

Выпуклость и монотонность следовой функции.

Позволять ж: ℝ → ℝ непрерывно, и пусть п быть любым целым числом. Тогда, если монотонно возрастает, поэтому на ЧАСп.

Аналогично, если является выпуклый, так это на ЧАСп, и он строго выпуклый, если ж строго выпуклый.

См. Доказательства и обсуждение в,[1] Например.

Теорема Лёвнера – Хайнца

За , функция является операторно монотонным и операторно вогнутым.

За , функция является операторно монотонным и операторно вогнутым.

За , функция операторно выпуклый. Более того,

оператор вогнутый и оператор монотонный, а
операторно выпуклый.

Первоначальное доказательство этой теоремы принадлежит К. Лёвнер который дал необходимое и достаточное условие для ж быть операторно монотонным.[5] Элементарное доказательство теоремы обсуждается в [1] и более общая его версия в формате.[6]

Неравенство Клейна

Для всех эрмитов п×п матрицы А и B и все дифференцируемые выпуклые функцииж: ℝ → ℝ с производная f ' , или для всех положительно определенных эрмитовых п×п матрицы А и B, и все дифференцируемые выпуклые функции ж: (0, ∞) → ℝ выполняется неравенство

В любом случае, если ж строго выпукло, равенство выполняется тогда и только тогда, когда А = B.Популярным выбором в приложениях является ж(т) = т бревно т, Смотри ниже.

Доказательство

Позволять так что для ,

,

варьируется от к .

Определять

.

В силу выпуклости и монотонности следовых функций выпуклый, и поэтому для всех ,

,

который,

,

и, по сути, правая часть монотонно убывает по .

Принимая предел урожайность,

,

что с перестановкой и заменой является неравенством Клейна:

Обратите внимание, что если строго выпуклый и , тогда строго выпуклый. Окончательное утверждение следует из этого и того факта, что монотонно убывает по .

Неравенство Голдена – Томпсона

В 1965 г. С. Голден [7] и Си Джей Томпсон [8] независимо обнаружил, что

Для любых матриц ,

Это неравенство можно обобщить для трех операторов:[9] для неотрицательных операторов ,

Неравенство Пайерлса – Боголюбова.

Позволять быть таким, что Tr eр = 1. Определение грамм = Tr Feр, у нас есть

Доказательство этого неравенства следует из сказанного выше в сочетании с Неравенство Клейна. Брать ж(Икс) = ехр (Икс), А=р + F, и B = р + gI.[10]

Вариационный принцип Гиббса

Позволять - самосопряженный оператор такой, что является класс трассировки. Тогда для любого с

с равенством тогда и только тогда, когда

Теорема Либа о вогнутости

Следующая теорема была доказана Э. Х. Либ в.[9] Он доказывает и обобщает гипотезу Э. П. Вигнера, М. М. Янасе и Ф. Дж. Дайсона.[11] Шесть лет спустя Т. Андо дал другие доказательства. [12] и Б. Саймон,[3] и с тех пор было дано еще несколько.

Для всех матрицы , и все и такой, что и , с настоящая карта на данный

  • совместно вогнута в
  • выпуклый в .

Здесь стоит за сопряженный оператор из

Теорема Либа

Для фиксированной эрмитовой матрицы , функция

вогнутый на .

Теорема и доказательство принадлежат Э. Х. Либу,[9] Теорема 6, где он получает эту теорему как следствие теоремы Либа о вогнутости. Наиболее прямое доказательство принадлежит Х. Эпштейну;[13] см. M.B. Рускайские бумаги,[14][15] для обзора этого аргумента.

Теорема Андо о выпуклости

Доказательство Т. Андо [12] из Теорема Либа о вогнутости привели к следующему значительному дополнению к нему:

Для всех матрицы , и все и с , действительная карта на данный

выпуклый.

Совместная выпуклость относительной энтропии

Для двух операторов определите следующую карту

За матрицы плотности и , карта это Умегаки квантовая относительная энтропия.

Обратите внимание, что неотрицательность следует из неравенства Клейна с .

Заявление

Карта совместно выпуклый.

Доказательство

Для всех

, совместно вогнутая, Теорема Либа о вогнутости, и поэтому

выпуклый. Но

и в пределе выпуклость сохраняется.

Доказательство принадлежит Г. Линдбладу.[16]

Оператор Дженсена и неравенства следов

Операторская версия Неравенство Дженсена принадлежит К. Дэвису.[17]

Непрерывная действительная функция на интервале удовлетворяет Неравенство оператора Дженсена если выполняется следующее

для операторов с и для самосопряженные операторы с спектр на .

Видеть,[17][18] для доказательства следующих двух теорем.

Следовое неравенство Дженсена

Позволять ж - непрерывная функция, определенная на интервале я и разреши м и п быть натуральными числами. Если ж выпукло, то справедливо неравенство

для всех (Икс1, ... , Иксп) самосопряженный м × м матрицы со спектрами, содержащимися в я и все (А1, ... , Ап) из м × м матрицы с

Наоборот, если указанное выше неравенство выполняется для некоторого п и м, куда п > 1, тогда ж выпуклый.

Неравенство оператора Дженсена

Для непрерывной функции определенный на интервале следующие условия эквивалентны:

  • операторно выпуклый.
  • Для каждого натурального числа у нас есть неравенство

для всех ограниченные самосопряженные операторы на произвольной Гильбертово пространство со спектрами, содержащимися в и все на с

  • для каждой изометрии на бесконечномерном гильбертовом пространстве и

каждый самосопряженный оператор со спектром в .

  • для каждой проекции на бесконечномерном гильбертовом пространстве , каждый самосопряженный оператор со спектром в и каждый в .

Неравенство Араки – Либа – Тирринга.

Э. Х. Либ и В. Э. Тирринг доказали следующее неравенство в [19] в 1976: Для любого , и

В 1990 г. [20] Х. Араки обобщил полученное выше неравенство на следующее: для любого , и

за

и

за

Неравенство Либа – Тирринга также имеет следующее обобщение:[21] для любого , и

Теорема Эффроса и ее расширение

Э. Эффрос в [22] доказал следующую теорему.

Если - операторная выпуклая функция, а и являются коммутирующими ограниченными линейными операторами, т. е. коммутатор , то перспектива

совместно выпукло, т. е. если и с (i = 1,2), ,

Эбадиан и др. позже неравенство распространилось на случай, когда и не ездить на работу. [23]

Следовое неравенство фон Неймана и связанные с ним результаты

Следовое неравенство фон Неймана, названное в честь его создателя Джон фон Нейман, утверждает, что для любого п × п комплексные матрицы АB с сингулярные значения и соответственно,[24]

Простым следствием этого является следующий результат[25]: За эрмитский п × п положительно полуопределенные комплексные матрицы АB где сейчас собственные значения сортируются по убыванию ( и , соответственно),

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Э. Карлен, Следовые неравенства и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Математика. 529 (2010) 73–140 Дои:10.1090 / conm / 529/10428
  2. ^ Р. Бхатия, Матричный анализ, Springer, (1997).
  3. ^ а б Б. Саймон, Идеалы трассировки и их приложения, Cambridge Univ. Press, (1979); Второе издание. Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд (2005).
  4. ^ М. Охя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer, (1993).
  5. ^ Лёвнер, Карл (1934). «Убер монотонный Matrixfunktionen». Mathematische Zeitschrift (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 38 (1): 177–216. Дои:10.1007 / bf01170633. ISSN  0025-5874. S2CID  121439134.
  6. ^ W.F. Донохью младший, Монотонные матричные функции и аналитическое продолжение, Спрингер, (1974).
  7. ^ Голден, Сидней (1965-02-22). «Нижние оценки функции Гельмгольца». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 137 (4B): B1127 – B1128. Дои:10.1103 / Physrev.137.b1127. ISSN  0031-899X.
  8. ^ Томпсон, Колин Дж. (1965). «Неравенство с приложениями в статистической механике». Журнал математической физики. Издательство AIP. 6 (11): 1812–1813. Дои:10.1063/1.1704727. ISSN  0022-2488.
  9. ^ а б c Либ, Эллиотт H (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Успехи в математике. Elsevier BV. 11 (3): 267–288. Дои:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-х. ISSN  0001-8708.
  10. ^ Д. Рюэль, Статистическая механика: точные результаты, World Scient. (1969).
  11. ^ Wigner, Eugene P .; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе одного матричного выражения». Канадский математический журнал. Канадское математическое общество. 16: 397–406. Дои:10.4153 / cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X.
  12. ^ а б Андо, Т. (1979). «Вогнутость некоторых отображений на положительно определенных матрицах и приложения к произведениям Адамара». Линейная алгебра и ее приложения. Elsevier BV. 26: 203–241. Дои:10.1016/0024-3795(79)90179-4. ISSN  0024-3795.
  13. ^ Эпштейн, Х. (1973). «Замечания к двум теоремам Э. Либа». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 31 (4): 317–325. Дои:10.1007 / bf01646492. ISSN  0010-3616. S2CID  120096681.
  14. ^ Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики. Издательство AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv:Quant-ph / 0205064. Дои:10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. S2CID  3051292.
  15. ^ Рускай, Мэри Бет (2007). «Еще одно краткое и элементарное доказательство сильной субаддитивности квантовой энтропии». Доклады по математической физике. Elsevier BV. 60 (1): 1–12. arXiv:Quant-ph / 0604206. Дои:10.1016 / с0034-4877 (07) 00019-5. ISSN  0034-4877. S2CID  1432137.
  16. ^ Линдблад, Горан (1974). «Ожидания и энтропийные неравенства для конечных квантовых систем». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 39 (2): 111–119. Дои:10.1007 / bf01608390. ISSN  0010-3616. S2CID  120760667.
  17. ^ а б К. Дэвис, Неравенство Шварца для выпуклых операторных функций, Proc. Амер. Математика. Soc. 8, 42–44, (1957).
  18. ^ Хансен, Франк; Педерсен, Герт К. (2009-06-09). «Неравенство оператора Дженсена». Бюллетень Лондонского математического общества. 35 (4): 553–564. arXiv:математика / 0204049. Дои:10.1112 / с0024609303002200. ISSN  0024-6093. S2CID  16581168.
  19. ^ EH Lieb, WE Thirring, Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева, Исследования по математической физике, под редакцией Э. Либа, Б. Саймона и А. Уайтмана, Princeton University Press, 269– 303 (1976).
  20. ^ Араки, Хузихиро (1990). «О неравенстве Либа и Тирринга». Письма по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 19 (2): 167–170. Дои:10.1007 / bf01045887. ISSN  0377-9017. S2CID  119649822.
  21. ^ З. Аллен-Чжу, Й. Ли, Л. Ореккья, Использование оптимизации для получения независимого от ширины, параллельного, более простого и быстрого положительного решателя SDP, в Симпозиуме ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, 1824–1831 (2016).
  22. ^ Эффрос, Э. Г. (21 января 2009 г.). «Матричный подход к некоторым известным квантовым неравенствам». Труды Национальной академии наук США. Труды Национальной академии наук. 106 (4): 1006–1008. arXiv:0802.1234. Дои:10.1073 / pnas.0807965106. ISSN  0027-8424. ЧВК  2633548. PMID  19164582.
  23. ^ Ebadian, A .; Никуфар, I .; Эшаги Горджи, М. (18.04.2011). «Перспективы матричных выпуклых функций». Труды Национальной академии наук. Труды Национальной академии наук США. 108 (18): 7313–7314. Дои:10.1073 / pnas.1102518108. ISSN  0027-8424.
  24. ^ Мирский, Л. (декабрь 1975). «След неравенства Джона фон Неймана». Monatshefte für Mathematik. 79 (4): 303–306. Дои:10.1007 / BF01647331. S2CID  122252038.
  25. ^ Маршалл, Альберт В .; Олкин, Инграм; Арнольд, Барри (2011). Неравенства: теория мажоризации и ее приложения (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п.340 -341. ISBN  978-0-387-68276-1.