Уравнения Васильева - Vasiliev equations

Уравнения Васильева находятся формально согласованные калибровочно-инвариантные нелинейные уравнения, линеаризация которых над конкретным вакуумным решением описывает свободные безмассовые поля высших спинов на пространство анти-де Ситтера. Уравнения Васильева - классические уравнения и никакие Лагранжиан известно, что начинается с канонической двухпроизводной Frønsdal Лагранжиан и дополняется членами взаимодействий. Существует ряд вариаций уравнений Васильева, которые работают в трех, четырех и произвольном количестве измерений пространства-времени. Уравнения Васильева допускают суперсимметричные расширения с любым количеством суперсимметрий и допускают Ян-Миллс замеры. Уравнения Васильева не зависят от фона, простейшим точным решением является пространство анти-де Ситтера. Важно отметить, что локальность не реализована должным образом, и уравнения дают решение определенной формальной процедуры деформации, которую трудно отобразить на языке теории поля. Высшее вращение AdS / CFT переписка рассматривается в Теория высших спинов статья.

Уравнения Васильева порождают уравнения и дают дифференциальные уравнения в пространстве-времени, решая их по порядку по некоторым вспомогательным направлениям. Уравнения основаны на нескольких компонентах: развернутых уравнениях и алгебрах высших спинов.

Изложение ниже организовано таким образом, чтобы разбить уравнения Васильева на строительные блоки, а затем соединить их вместе. Пример четырехмерных бозонных уравнений Васильева^[1] рассматривается подробно, поскольку все другие измерения и суперсимметричные обобщения являются простыми модификациями этого основного примера.

определение алгебра высших спинов дается, поскольку уравнения теории высших спинов оказываются уравнениями для двух полей, принимающих значения в алгебре высших спинов;
определен конкретный звездный продукт, в котором поля, входящие в уравнения Васильева, принимают значения;
Часть уравнений Васильева связана с интересной деформацией гармонического осциллятора, называемой деформированные осцилляторы, который рассматривается;
то развернутый подход обсуждается, что представляет собой слегка продвинутую форму записи дифференциальных уравнений в форме первого порядка;
то Уравнения Васильева даны;
доказано, что линеаризация уравнений Васильева над пространством анти-де Ситтера описывает свободные безмассовые поля высших спинов.

Известны три варианта уравнений Васильева: четырехмерный,^[1] трехмерный^[2]^[3] и d-мерный.^[4] Они отличаются небольшими деталями, о которых речь пойдет ниже.

Алгебры высших спинов

Алгебры высших спинов^[5] являются глобальными симметриями мультиплета теории высших спинов. В то же время их можно определить как глобальные симметрии некоторых конформные теории поля (CFT), лежащая в основе кинематической части соответствие AdS / CFT более высокого спина, который является частным случаем AdS / CFT. Другое определение состоит в том, что алгебры высших спинов являются факторами универсальная обертывающая алгебра алгебры анти-де Ситтера ${ displaystyle so (d, 2)}$ некоторыми двусторонними идеалами. Существуют несколько более сложных примеров алгебр высших спинов, но все они могут быть получены путем тензора простейших алгебр высших спинов с помощью матричных алгебр и последующего наложения дополнительных ограничений. Алгебры высших спинов возникают как ассоциативные алгебры а алгебру Ли можно построить через коммутатор.

В случае четырехмерной бозонной теории высших спинов соответствующая алгебра высших спинов очень проста благодаря ${ textstyle so (3,2) sim sp (4, mathbb {R})}$ и может быть построен на двумерный квантовый гармонический осциллятор. В последнем случае две пары операторов создания / уничтожения ${ textstyle a_ {1}, a_ {1} ^ { dagger}, a_ {2}, a_ {2} ^ { dagger}}$ необходимы. Их можно упаковать в квартет ${ textstyle { hat {Y}} ^ {A}, A = 1, ..., 4}$ операторов, подчиняющихся каноническим коммутационным соотношениям

{ displaystyle [{ hat {Y}} ^ {A}, { hat {Y}} ^ {B}] = 2iC ^ {AB} ,,}

куда ${ textstyle C ^ {AB} = - C ^ {BA}}$ это ${ textstyle sp (4)}$ инвариантный тензор, т.е. антисимметричный. Как известно, билинейные линии обеспечивают осцилляторную реализацию ${ textstyle sp (4)}$ :

{ displaystyle T ^ {AB} = - { frac {i} {4}} {{ hat {Y}} ^ {A}, { hat {Y}} ^ {B} } ,, qquad [T ^ {AB}, T ^ {CD}] = T ^ {AD} C ^ {BC} + { text {3 more}} ,.}

Алгебра высших спинов определяется как алгебра всех четных функций ${ textstyle е ({ шляпа {Y}}), е ({ шляпа {Y}}) = е (- { шляпа {Y}})}$ в ${ textstyle { hat {Y}} ^ {A}}$ . Чётность функций соответствует бозонному содержанию теории высших спинов: ${ textstyle { hat {Y}} ^ {A}}$ будет показано, что они связаны со спинорами Майораны с пространственно-временной точки зрения и даже со степенями ${ textstyle { hat {Y}} ^ {A}}$ соответствуют тензорам. Это ассоциативная алгебра, и произведение удобно реализовать с помощью Мойял звездный продукт:

{ Displaystyle (е звезда г) (Y) = е (Y) ехр я влево ({{ гидроразрыва { overleftarrow { partial}} { partial Y ^ {A}}} C ^ {AB} { frac { overrightarrow { partial}} { partial Y ^ {B}}}} right) g (Y) ,,}

в том смысле, что алгебра операторов ${ textstyle f ({ hat {Y}})}$ можно заменить алгеброй функции ${ textstyle f (Y)}$ в обычных коммутирующих переменных ${ textstyle {Y} ^ {A}}$ (снимаем шляпу), и продукт необходимо заменить на некоммутативный звездный продукт. Например, можно найти

{ displaystyle (Y ^ {A} star g) (Y) = (Y ^ {A} + iC ^ {AB} partial _ {B}) g (Y) ,, qquad (f star Y ^ {B}) (Y) = (Y ^ {B} -iC ^ {BA} partial _ {B}) f (Y) ,,}

и поэтому ${ textstyle Y ^ {A} звезда Y ^ {B} -Y ^ {B} звезда Y ^ {A} = [Y ^ {A}, Y ^ {B}] _ { star} = 2iC ^ {AB}}$ как это было бы в случае с операторами. На практике более полезно другое представление того же звездного продукта:

{ Displaystyle (е звезда г) (Y) = { гидроразрыва {1} {(2 pi) ^ {4}}} int dUdVf (Y + U) g (Y + V) e ^ {iU_ { A} V_ {B} C ^ {AB}} ,.}

Экспоненциальную формулу можно получить, интегрировав по частям и отбросив граничные члены. Предварительный коэффициент выбран таким образом, чтобы обеспечить ${ Displaystyle 1 звезда 1 = 1}$ . В лоренц-ковариантной базе можно разбить ${ textstyle A = alpha, { dot { alpha}}; alpha = 1,2; { dot { alpha}} = 1,2}$ и мы также разделили ${ displaystyle Y ^ {A} = y ^ { alpha}, y ^ { dot { alpha}}}$ . Тогда генераторы Лоренца равны ${ textstyle L ^ { alpha beta} = T ^ { alpha beta}}$ , ${ textstyle { bar {L}} ^ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}} = T ^ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}} }$ а генераторы перевода ${ textstyle P ^ { alpha { dot { beta}}} = T ^ {{ alpha} { dot { beta}}}}$ . В ${ textstyle pi}$ -автоморфизм может быть реализован двумя эквивалентными способами: либо как ${ textstyle pi (y ^ { alpha}) = - y ^ { alpha}, pi (y ^ { dot { alpha}}) = y ^ { dot { alpha}}}$ или как ${ textstyle pi (y ^ { alpha}) = Y ^ { alpha}, pi (y ^ { dot { alpha}}) = - y ^ { dot { alpha}}}$ . В обоих случаях он оставляет генераторы Лоренца нетронутыми и меняет знак переводов.

Построенная выше алгебра высших спинов может быть показана как алгебра симметрии трехмерного Уравнение Клейна-Гордона ${ Displaystyle квадрат _ {3} фи (х) = 0}$ . Рассмотрение более общих бесплатных CFT, например количество скаляров плюс количество фермионов, поле Максвелла и другие, можно построить больше примеров алгебр высших спинов.

Васильев звездный продукт

Уравнения Васильева - это уравнения в некотором большем пространстве, наделенное вспомогательными направлениями, которые необходимо решить. Дополнительные направления задаются двойниками ${ textstyle {Y} ^ {A}}$ , называется ${ textstyle {Z} ^ {A}}$ , которые, кроме того, запутаны с Y. Звездное произведение на алгебре функций из ${ textstyle f (Y, Z)}$ в ${ textstyle {Y}, Z}$ -переменные есть

{ Displaystyle F (Y, Z) звезда G (Y, Z) = { frac {1} {(2 pi) ^ {4}}} int dU , dV , F (Y + U, Z + U) G (Y + V, ZV) exp {[iU_ {A} V_ {B} C ^ {AB}]} ,.}

Интегральная формула здесь - это особый звездный продукт, который соответствует порядку Вейля между Y и Z, с противоположными знаками для коммутатора:

{ Displaystyle [Y ^ {A}, Y ^ {B}] = 2iC ^ {AB} ,, qquad qquad [Z ^ {A}, Z ^ {B}] = - 2iC ^ {AB} ,.}

Более того, звездное произведение Y-Z нормально упорядочено относительно Y-Z и Y + Z, как видно из

{ displaystyle { begin {align} F (a, a ^ { dagger}) star G (a, a ^ { dagger}) & = { frac {1} {(2 pi) ^ {4 }}} int dU , dV , F (a + 2U, a ^ { dagger}) G (a, a ^ { dagger} + 2V) exp {[iU_ {A} V_ {B} C ^ {AB}]} ,, & quad a = Y + Z ,, a ^ { dagger} = YZ end {align}}}

Алгебра высших спинов является ассоциативной подалгеброй в расширенной алгебре. В соответствии с бозонной проекцией дается выражением ${ Displaystyle е (Y, Z) = f (-Y, -Z)}$ .

Деформированные осцилляторы

Существенная часть уравнений Васильева основана на интересной деформации Квантовый гармонический осциллятор, известные как деформированные осцилляторы. Прежде всего, упакуем обычные операторы создания и уничтожения. ${ textstyle a ^ { dagger}, a}$ в дублете ${ textstyle д _ { альфа} ,, альфа = 1,2}$ . Канонические коммутационные соотношения ( ${ textstyle 2i}$ -факторы введены для облегчения сравнения с уравнениями Васильева)

{ displaystyle left [q _ { alpha}, q _ { beta} right] = - 2i epsilon _ { alpha beta} ,, qquad epsilon _ { alpha beta} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {bmatrix}} ,,}

можно использовать, чтобы доказать, что билинейные ${ displaystyle q _ { alpha}}$ форма ${ displaystyle sp (2) sim sl (2)}$ генераторы

{ displaystyle { begin {align} T _ { alpha beta} & = { frac {i} {4}} {q _ { alpha}, q _ { beta} } ,, left [T _ { alpha beta}, q _ { gamma} right] & = q _ { alpha} epsilon _ { beta gamma} + q _ { beta} epsilon _ { alpha gamma} , , left [T _ { alpha beta}, T _ { gamma delta} right] & = T _ { alpha delta} epsilon _ { beta gamma} + T _ { beta delta} epsilon _ { alpha gamma} + T _ { alpha gamma} epsilon _ { beta delta} + T _ { beta gamma} epsilon _ { alpha delta} ,. end {выровнено }}}

Особенно, ${ displaystyle T _ { alpha beta}}$ вращается ${ displaystyle q _ { alpha}}$ как ${ displaystyle sp (2)}$ -вектор с ${ displaystyle epsilon _ { alpha beta}}$ играя роль ${ displaystyle sp (2)}$ -инвариантная метрика. Деформированные осцилляторы определены^[6] добавив к набору генераторов дополнительный порождающий элемент ${ displaystyle Q}$ и постулируя

{ displaystyle {q _ { alpha}, Q } = 0 ,, qquad left [q _ { alpha}, q _ { beta} right] = - 2i epsilon _ { alpha beta} (1 + Q) ,.}

Опять же, можно увидеть, что ${ displaystyle T _ { alpha beta}}$ , как определено выше, форма ${ displaystyle sp (2)}$ -генераторы и вращаются правильно ${ displaystyle q _ { alpha}}$ . В ${ displaystyle Q = 0}$ вернемся к недеформированным осцилляторам. Фактически, ${ displaystyle q _ { alpha}}$ и ${ displaystyle T _ { alpha beta}}$ образуют генераторы Супералгебра Ли ${ displaystyle osp (1 | 2)}$ , куда ${ displaystyle q _ { alpha}}$ следует рассматривать как нечетные генераторы. Потом, ${ displaystyle {q _ { alpha}, q _ { beta} } = - 4iT _ { alpha beta}}$ является частью определяющих отношений ${ displaystyle osp (1 | 2)}$ . Один (или два) экземпляра соотношений деформированного осциллятора составляют часть уравнений Васильева, в которых генераторы заменены полями, а соотношения коммутации задаются как уравнения поля.

Развернутые уравнения

Уравнения для полей высших спинов происходят из уравнений Васильева в развернутой форме. Любая система дифференциальных уравнений может быть приведена в форму первого порядка, введя вспомогательные поля для обозначения производных. Развернутый подход^[7] является усовершенствованной переформулировкой этой идеи, которая учитывает калибровочные симметрии и диффеоморфизмы. Вместо того, чтобы просто ${ textstyle partial _ { mu} phi ^ {i} (x) = f _ { mu} ^ {i} ( phi)}$ развернутые уравнения записываются на языке дифференциальных форм как

{ Displaystyle dW ^ {A} = F ^ {A} (W) ,,}

где переменные дифференциальные формы ${ textstyle W ^ {A} = W _ { mu _ {1} ... mu _ {q}} ^ {A} (x) , dx ^ { mu _ {1}} клин .. . wedge dx ^ { mu _ {q}}}$ различной степени, пронумерованные абстрактным указателем ${ textstyle A}$ ; ${ textstyle d}$ это внешняя производная ${ textstyle d = dx ^ { mu} partial _ { mu}}$ . Структурная функция ${ textstyle F ^ {A} (W)}$ предполагается, что его можно расширить во внешнем продукте серии Тейлора как

{ Displaystyle F ^ {A} (W) = sum _ {q_ {1} + ... + q_ {n} = q + 1} F_ {B_ {1} ... B_ {n}} ^ { A} W ^ {B_ {1}} клин ... клин W ^ {B_ {n}} ,,}

куда ${ textstyle W ^ {A}}$ имеет степень ${ textstyle q}$ и сумма по всем формам, чьи степени формы в сумме составляют ${ textstyle q + 1}$ . Простейшим примером развернутых уравнений являются уравнения нулевой кривизны ${ textstyle d omega = { tfrac {1} {2}} [ omega, omega]}$ для разового подключения ${ textstyle omega}$ любой алгебры Ли ${ textstyle { mathfrak {g}}}$ . Здесь ${ textstyle A}$ пробегает базу алгебры Ли, а структурная функция ${ textstyle F ^ {A} ( omega) = f_ {BC} ^ {A} , omega ^ {A} клин omega ^ {B}}$ кодирует структурные константы алгебры Ли.

С ${ textstyle дд экв 0}$ непротиворечивость развернутых уравнений требует

{ Displaystyle 0 Equiv ddW ^ {A} = dF ^ {A} (W) = dW ^ {B} { frac { partial} { partial W ^ {B}}} F ^ {A} (W ) = F ^ {B} { frac { partial} { partial W ^ {B}}} F ^ {A} (W) qquad longleftrightarrow qquad F ^ {B} { frac { partial} { partial W ^ {B}}} F ^ {A} (W) = 0 ,,}

какой Условие интегрируемости Фробениуса. В случае уравнения нулевой кривизны это просто тождество Якоби. Как только система станет интегрируемой, можно показать, что она обладает определенной калибровочной симметрией. Каждое поле ${ textstyle W ^ {A}}$ это форма ненулевой степени ${ textstyle q}$ обладает калибровочным параметром ${ textstyle xi ^ {A}}$ это форма степени ${ textstyle q-1}$ а калибровочные преобразования имеют вид

{ displaystyle delta W ^ {A} = d xi ^ {A} + xi ^ {B} { frac { partial} { partial W ^ {B}}} F ^ {A} (W) }

Уравнения Васильева порождают развернутые уравнения для конкретного содержания поля, которое состоит из одной формы ${ textstyle omega}$ и нулевая форма ${ textstyle C}$ , оба принимают значения в алгебра высших спинов. Следовательно, ${ Displaystyle W ^ {A} = ( omega, C)}$ и ${ displaystyle omega = omega _ { mu} (Y | x) dx ^ { mu}, omega (Y | x) = omega (-Y | x)}$ , ${ Displaystyle C = C (Y | x), C (Y | x) = C (-Y | x)}$ . Развернутые уравнения, описывающие взаимодействия полей высших спинов:

{ displaystyle { begin {align} d omega & = omega star omega + { mathcal {V}} ( omega, omega, C) + { mathcal {V}} ( omega, omega, C, C) + ... ,, dC & = omega star CC star pi ( omega) + { mathcal {V}} ( omega, C, C) + ... ,, конец {выровнено}}}

куда ${ textstyle { mathcal {V}} ( omega, ..., C)}$ - вершины взаимодействия все более и более высокого порядка в ${ textstyle C}$ -поле. Произведение в алгебре высших спинов обозначается через ${ displaystyle star}$ . Явный вид вершин можно извлечь из уравнений Васильева. Вершины, являющиеся билинейными в полях, определяются алгеброй высших спинов. Автоморфизм ${ textstyle pi}$ индуцирован автоморфизмом анти-де Ситтер алгебру, меняющую знак переводов, см. ниже. Если мы отсечем более высокие порядки в ${ textstyle C}$ -расширение, уравнения представляют собой просто условие нулевой кривизны для связи ${ textstyle omega}$ алгебры высших спинов и ковариантного уравнения постоянства для нулевой формы ${ textstyle C}$ который принимает значения в скрученно-сопряженном представлении^[8] (закрутка по автоморфизму ${ textstyle pi}$ ).

Содержание поля

Полевое содержание уравнений Васильева задается тремя полями, каждое из которых принимает значения в расширенной алгебре функций из Y и Z:

соединение манометра ${ Displaystyle W = W _ { mu} (Y, Z | x) , dx ^ { mu}}$ , значение которой при Z = 0 дает связность алгебры высших спинов ${ displaystyle omega = omega _ { mu} (Y | x) , dx ^ { mu}}$ . Из бозонной проекции следует ${ Displaystyle W (Y, Z | x) = W (-Y, -Z | x)}$ ;
нулевая форма ${ Displaystyle В = В (Y, Z | х)}$ , значение которой при Z = 0 дает нулевую форму алгебры высших спинов ${ Displaystyle С = С (Y | х)}$ . Из бозонной проекции следует ${ Displaystyle В (Y, Z | х) = В (-Y, -Z | х)}$ ;
вспомогательное поле ${ Displaystyle S = S_ {A} (Y, Z | x) , dZ ^ {A}}$ , где иногда полезно рассматривать его как одну форму во вспомогательном Z-пространстве, отсюда и дифференциалы: ${ displaystyle dZ ^ {A} wedge dZ ^ {B} = - dZ ^ {B} wedge dZ ^ {A} ,.}$

Это поле можно исключить при решении Z-зависимости. Бозонная проекция

{ displaystyle S}

-поле

{ Displaystyle S_ {A} (Y, Z | x) = - S_ {A} (- Y, -Z | x)}

за счет дополнительного индекса

{ displaystyle A}

который в конечном итоге переносится Y, Z.

Чтобы избежать путаницы, вызванной дифференциальными формами во вспомогательном Z-пространстве, и выявить связь с деформированные осцилляторы уравнения Васильева записываются ниже в компонентном виде. Уравнения Васильева можно разделить на две части. Первая часть содержит только уравнения нулевой кривизны или ковариантного постоянства:

{ Displaystyle { begin {align} dW & = W star W ,, dB & = W star BB star pi (W) ,, dS_ {A} & = W star S_ {A } -S_ {A} star W ,, end {выровнено}}}

где автоморфизм алгебры высших спинов ${ displaystyle pi}$ распространяется на полную алгебру как

{ displaystyle { begin {align} pi (W) (y _ { alpha}, y _ { dot { alpha}}, z _ { alpha}, z _ { dot { alpha}}) & = { W} (- y _ { alpha}, y _ { dot { alpha}}, - z _ { alpha}, z _ { dot { alpha}}) = {W} (y _ { alpha}, - y_ { dot { alpha}}, z _ { alpha}, - z _ { dot { alpha}}) ,, end {align}}}

последние две формы эквивалентны из-за наложенной на ${ Displaystyle W (Y, Z | X)}$ .

Следовательно, первая часть уравнений означает, что в x-пространстве нет нетривиальной кривизны, поскольку ${ displaystyle W}$ плоский. Вторая часть делает систему нетривиальной и определяет кривизну вспомогательного соединения. ${ displaystyle S}$ :

{ displaystyle { begin {align} left [S_ {A}, S_ {B} right] _ { star} & = - 2i { begin {bmatrix} epsilon _ { alpha beta} (1 + B star varkappa) & 0 0 & epsilon _ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}} (1 + B star { bar { varkappa}}) end { bmatrix}} ,, {B star varkappa, S _ { alpha} } _ { star} & = 0 ,, {B star { bar { varkappa}}, S _ { dot { alpha}} } _ { star} & = 0 ,, end {выравнивается}}}

где были введены два оператора Клейна

{ Displaystyle varkappa = exp {iy _ { alpha} z ^ { alpha}} ,, qquad { bar { varkappa}} = exp {iy _ { dot { alpha}} z ^ { dot { alpha}}}}

Существование операторов Клейна имеет огромное значение для системы. Они осознают ${ displaystyle pi}$ автоморфизм как внутренний

{ displaystyle { begin {align} varkappa star f (y _ { alpha}, y _ { dot { alpha}}, z _ { alpha}, z _ { dot { alpha}}) star varkappa & = f (-y _ { alpha}, y _ { dot { alpha}}, - z _ { alpha}, z _ { dot { alpha}}) ,, qquad && varkappa star varkappa = 1 ,, { bar { varkappa}} star f (y _ { alpha}, y _ { dot { alpha}}, z _ { alpha}, z _ { dot { alpha} }) star { bar { varkappa}} & = f (y _ { alpha}, - y _ { dot { alpha}}, z _ { alpha}, - z _ { dot { alpha}}) ,, qquad && { bar { varkappa}} star { bar { varkappa}} = 1 ,. end {выровнено}}}

Другими словами, оператор Клейна ${ Displaystyle varkappa}$ вести себя как ${ displaystyle (-1) ^ {N_ {y} + N_ {z}}}$ , т.е. он антикоммулирует к нечетным функциям и коммутирует к четным функциям по y, z.

Эти 3 + 2 уравнения являются уравнениями Васильева^[1] для четырехмерной бозонной теории высших спинов. Сделаем несколько комментариев.

Алгебраическая часть системы при разбиении на компоненты ${ Displaystyle А = альфа, { точка { альфа}}; альфа = 1,2; { точка { альфа}} = 1,2}$ в соответствии с выбором ${ displaystyle sp (4)}$ -метрический

{ displaystyle C_ {AB} = { begin {bmatrix} epsilon _ { alpha beta} & 0 0 & epsilon _ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}} end {bmatrix}}}

становится эквивалентным двум копиям взаимно коммутирующих деформированных осцилляторов:

{ displaystyle { begin {array} {lll} left [S _ { alpha}, S _ { beta} right] = - 2i epsilon _ { alpha beta} (1 + B star varkappa) & left [S _ { alpha}, S _ { dot { beta}} right] = 0 & {B star varkappa, S _ { alpha} } _ { star} = 0 left [S _ { dot { alpha}}, S _ { beta} right] = 0 & left [S _ { dot { alpha}}, S _ { dot { beta}} right] = - 2i epsilon _ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}} (1 + B star { bar { varkappa}}) & {B star { bar { varkappa}}, S _ { dot { alpha}} } _ { star} = 0 end {array}}}

Следовательно, последние два уравнения эквивалентны определяющим соотношениям двух копий

{ displaystyle osp (1 | 2)}

с

{ displaystyle S _ { alpha}}

и

{ displaystyle S _ { dot { alpha}}}

играя роль нечетных генераторов и с

{ displaystyle B star varkappa}

и

{ displaystyle B star { bar { varkappa}}}

играя роль деформаций. С

{ displaystyle B}

одинаково для двух экземпляров, они не являются независимыми, что не портит согласованность.

Система последовательна. Согласованность первых трех уравнений очевидна, поскольку они являются уравнениями нулевой кривизны / ковариантного постоянства. Согласованность последних двух уравнений обеспечивается деформированными осцилляторами. Взаимная согласованность двух частей уравнений объясняется тем, что скрученное ковариантное постоянство ${ displaystyle B}$ -поле эквивалентно обычному ковариантному постоянству либо ${ displaystyle B star varkappa}$ или же ${ displaystyle B star { bar { varkappa}}}$ . В самом деле,

{ displaystyle d (B star varkappa) - [W, (B star varkappa)] = (дБ-W звезда B + B star varkappa star W star varkappa) star varkappa = (дБ-Вт звезда B + B звезда pi (W)) звезда varkappa = 0}

где мы использовали

{ Displaystyle varkappa star varkappa = 1}

и его отношение к

{ displaystyle pi}

-автоморфизм. Потом,

{ Displaystyle varkappa}

можно отменить, так как он обратим;

Уравнения калибровочно инвариантны. Преобразования калибровочной симметрии с ${ Displaystyle xi = xi (Y, Z | x)}$ находятся:

{ displaystyle { begin {align} delta W & = d xi - [W, xi] _ { star} delta B & = xi star BB star pi ( xi) дельта S_ {A} & = xi star S_ {A} -S_ {A} star pi ( xi) end {align}}}

Уравнения не зависят от фона, и необходимо указать некоторый вакуум, чтобы дать интерпретацию линеаризованного решения.
Самое простое точное решение - это пустое пространство анти-де Ситтера:

{ displaystyle W = Omega = { frac {1} {2}} varpi ^ { alpha alpha} L _ { alpha alpha} + h ^ { alpha { dot { alpha}}} P_ { alpha { dot { alpha}}} + { frac {1} {2}} varpi ^ { dot { alpha}} { dot { alpha}}} { bar {L} } _ {{ dot { alpha}} { dot { alpha}}} ,, qquad B = 0 ,, qquad S_ {A} = Z_ {A} ,,}

куда

{ displaystyle Omega}

это плоское соединение

{ displaystyle d Omega = Omega star Omega}

алгебры анти-де Ситтера и компоненты вдоль генераторов Лоренца и трансляций соответствуют спин-связности

{ displaystyle varpi ^ { alpha alpha}, varpi ^ {{ dot { alpha}} { dot { alpha}}}}

и Вербейн

{ displaystyle h ^ {{ alpha} { dot { alpha}}}}

, соответственно. Важно, чтобы

{ displaystyle S}

-поле имеет нетривиальное значение вакуума, что является решением из-за

{ displaystyle [Z_ {A}, Z_ {B}] _ { star} = - 2iC_ {AB}}

и тот факт, что

{ displaystyle B = 0}

.

Уравнения Васильева, линеаризованные над вакуумом анти-де Ситтера, действительно описывают все свободные безмассовые поля со спином s = 0,1,2,3, ..., что требует некоторых вычислений и показано ниже.

Линеаризация

Чтобы доказать, что линеаризованные уравнения Васильева действительно описывают свободные безмассовые поля высших спинов, нам необходимо рассмотреть линеаризованные флуктуации над вакуумом анти-де Ситтера. Прежде всего возьмем точное решение, где ${ Displaystyle W = Omega}$ является плоской связностью алгебры анти-де Ситтера, ${ displaystyle B = 0}$ и ${ displaystyle S_ {A} = Z_ {A}}$ и добавить колебания

{ Displaystyle W = Omega + w ,, qquad B = 0 + 2ib ,, qquad S_ {A} = Z_ {A} + 2is_ {A} ,.}

Затем линеаризуем уравнения Васильева

{ Displaystyle { begin {align} dw- Omega star ww star Omega & = 0 ,, db- Omega star b + b star pi ( Omega) & = 0 , , ds_ {A} - Omega star s_ {A} + s_ {A} star Omega & = partial _ {A} w ,, partial _ {A} b & = 0 , , partial _ { alpha} s _ { beta} - partial _ { beta} s _ { alpha} & = epsilon _ { alpha beta} b star varkappa ,, partial _ { dot { alpha}} s _ { dot { beta}} - partial _ { dot { beta}} s _ { dot { alpha}} & = epsilon _ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}} b star { bar { varkappa}} ,, partial _ { alpha} s _ { dot { beta}} - partial _ { dot { beta}} s _ { alpha} & = 0 ,, end {align}}}

Выше несколько раз использовалось, что ${ textstyle [Z ^ {A}, f (Z)] _ { star} = - 2i partial _ {A} f (Z), partial _ {A} Equiv { frac { partial} { partial Z ^ {A}}}}$ , т.е. вакуумное значение S-поля действует как производная под коммутатором. Четырехкомпонентные Y, Z удобно разделить на двухкомпонентные переменные как ${ displaystyle Y ^ {A} = (y ^ { alpha}, y ^ { dot { alpha}}), Z ^ {A} = (z ^ { alpha}, z ^ { dot {) альфа}})}$ . Еще один прием, который использовался в четвертом уравнении, - это обратимость операторов Клейна:

{ displaystyle {b star varkappa, z _ { alpha} } = b star varkappa star z _ { alpha} + z _ { alpha} star b star varkappa = (b star varkappa star z _ { alpha} star varkappa + z _ { alpha} star b) star varkappa = [z _ { alpha}, b] star varkappa ,.}

Пятое уравнение Васильева теперь разделено на три последних уравнения выше.

Анализ линеаризованных флуктуаций заключается в решении уравнений одно за другим в правильном порядке. Напомним, что предполагается найти развернутые уравнения для двух полей: одноформного ${ Displaystyle omega = omega _ { mu} (Y | x) dx ^ { mu}}$ и нулевой формы ${ Displaystyle С = С (Y | х)}$ . Из четвертого уравнения следует, что ${ displaystyle b}$ не зависит от вспомогательного Z-направления. Следовательно, можно выделить ${ Displaystyle б = С (Y | х)}$ . Второе уравнение немедленно приводит к

{ displaystyle nabla C + ih ^ { alpha { dot { alpha}}} left (y _ { alpha} y _ { dot { alpha}} - { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ { alpha} partial y ^ { dot { alpha}}}} right) C = 0 ,,}

куда ${ displaystyle nabla}$ ковариантная производная Лоренца

{ displaystyle nabla = d- varpi ^ { alpha beta} left (y _ { alpha} { frac { partial} { partial y ^ { beta}}} + y _ { beta} { frac { partial} { partial y ^ { alpha}}} right) -...}

где ... обозначим член с ${ displaystyle varpi ^ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}}}$ это похоже на первый. Ковариантная производная Лоренца возникает из обычного коммутаторного действия части спиновой связности ${ displaystyle Omega}$ . Термин с vierbein происходит от ${ displaystyle pi}$ -автоморфизм, меняющий знак AdS-трансляций и порождающий антикоммутатор ${ displaystyle h ^ { alpha { dot { alpha}}} left {P _ { alpha { dot { alpha}}}, bullet right } _ { star}}$ .

Чтобы прочитать содержание C-уравнения, необходимо разложить его по Y и проанализировать C-уравнение покомпонентно.

{ displaystyle C = sum _ {k + m = { text {even}}} C _ { alpha _ {1} ... alpha _ {k}, { dot { alpha}} _ {1 } ... { dot { alpha}} _ {m}} (X) , y ^ { alpha _ {1}} ... y ^ { alpha _ {k}} , y ^ { { dot { alpha}} _ {1}} ... y ^ {{ dot { alpha}} _ {m}}}

Тогда можно увидеть, что различные компоненты имеют следующую интерпретацию:

Самый первый компонент ${ Displaystyle C (х)}$ - скалярное поле. Тот, что рядом, ${ displaystyle C _ { alpha { dot { alpha}}}}$ выражается в силу C-уравнения как производная от скаляра. Одно из компонентных уравнений накладывает уравнение Клейна-Гордона ${ Displaystyle ( квадрат -2) С (х) = 0}$ , где космологическая постоянная установлена равной единице. Компоненты с одинаковым числом индексов с точками и без точек выражаются как производные на оболочке скаляра.

{ displaystyle C _ { alpha _ {1} ... alpha _ {k}, { dot { alpha}} _ {1} ... { dot { alpha}} _ {k}} ( x) , h _ { mu _ {1}} ^ { alpha _ {1} { dot { alpha}} _ {1}} ... h _ { mu _ {k}} ^ { alpha _ {k} { dot { alpha}} _ {k}} sim nabla _ { mu _ {1}} ... nabla _ { mu _ {k}} C (x)}

${ displaystyle C _ { alpha beta}, C _ {{ dot { alpha}} { dot { beta}}}}$ являются самодуальными и анти-самодуальными компонентами Тензор Максвелла ${ displaystyle F _ { mu nu}}$ . C-уравнение накладывает уравнения Максвелла. Компоненты с k + 2 = m и k = m + 2 являются производными тензора Максвелла на оболочке;
${ displaystyle C _ { alpha beta gamma delta}, C _ {{ dot { alpha}} { dot { beta}} { dot { gamma}} { dot { delta}}} }$ являются самодуальными и анти-самодуальными компонентами Тензор Вейля ${ displaystyle C _ { mu nu, lambda rho}}$ . C-уравнение накладывает тождества Бианки для тензора Вейля. Компоненты с k + 4 = m и k = m + 4 являются производными тензора Вейля на оболочке;
${ displaystyle C _ { alpha _ {1} ... alpha _ {2s}}, C _ {{ dot { alpha}} _ {1} ... { dot { alpha}} _ {2s }}}$ являются самодуальной и антиавтодуальной составляющими высокоспинового обобщения тензора Вейля. C-уравнение накладывает тождества Бианки, а компоненты с k + 2s = m и k = m + 2s являются производными на оболочке тензора Вейля с высшими спинами;

Последние три уравнения можно распознать как уравнения вида ${ Displaystyle mathrm {d} mu = nu, mathrm {d} nu = 0}$ куда ${ displaystyle mathrm {d}}$ - внешняя производная на пространстве дифференциальных форм в Z-пространстве. Такие уравнения можно решить с помощью Лемма Пуанкаре.. Кроме того, нужно знать, как умножить на оператор Клейна справа, который легко вывести из интегральной формулы для звездного произведения:

{ displaystyle f (y _ { alpha}, z _ { beta}) star varkappa = f (-z _ { alpha}, - y _ { beta}) varkappa ,.}

Т.е. результат - поменять местами половину переменных Y и Z и перевернуть знак. Решение последних трех уравнений можно записать как

{ displaystyle s _ { alpha} = z _ { alpha} int _ {0} ^ {1} t , dt , C (-zt, { bar {y}}) e ^ {ity ^ { альфа} z _ { alpha}} + partial _ { alpha} epsilon ,,}

где аналогичная формула существует для ${ displaystyle s _ { dot { alpha}}}$ Здесь последний член - это калибровочная неоднозначность, то есть свобода добавлять точные формы в Z-пространство, и ${ Displaystyle epsilon = epsilon (Y, Z | x)}$ . Можно измерить это исправить, чтобы иметь ${ displaystyle partial _ { alpha} epsilon = 0}$ . Затем подставляется решение третьего уравнения того же типа, то есть дифференциального уравнения первого порядка в Z-пространстве. Его общее решение снова дается леммой Пуанкаре

{ displaystyle w = omega + Z ^ {A} int _ {0} ^ {1} dt , f_ {A} (zt) ,, qquad f_ {A} = dS_ {A} - [ Омега, S_ {A}] _ { star} ,,}

куда ${ Displaystyle omega = omega (Y | x)}$ - постоянная интегрирования в Z-пространстве, т. е. когомологии де-Рама. Именно эту константу интегрирования следует отождествлять с однократной формой ${ displaystyle omega (Y | x)}$ как следует из названия. После некоторой алгебры можно найти

{ displaystyle w = omega + int _ {0} ^ {1} dt (1-t) left (t varpi ^ { alpha beta} z _ { alpha} z _ { beta} -ih ^ { alpha { dot { alpha}}} z _ { alpha} { frac { partial} { partial y ^ { dot { alpha}}}} right) C (-z _ { gamma} t, y _ { dot { gamma}}) e ^ {ity ^ { delta} z _ { delta}} + ...}

где мы снова опустили термин, в котором поменяны индексы с точками и без точек. Последний шаг - подставить решение в первое уравнение, чтобы найти

{ displaystyle nabla omega -h ^ { alpha { dot { alpha}}} left (y _ { alpha} { frac { partial} { partial y ^ { dot { alpha}} }} + y _ { dot { alpha}} { frac { partial} { partial y ^ { alpha}}} right) omega = - { frac {1} {2}} h _ { gamma} {} ^ { dot { alpha}} wedge h ^ { gamma { dot { beta}}} { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ { dot { альфа}} partial y ^ { dot { beta}}}} C (0, y _ { dot { delta}}) + ...}

и снова второй член справа опущен. Это важно что ${ displaystyle omega}$ не плоское соединение, а ${ displaystyle w}$ это плоское соединение. Для анализа ${ displaystyle omega}$ -уравнения полезно разложить ${ displaystyle omega}$ в Y

{ displaystyle omega = sum _ {k + m = { text {even}}} omega _ { alpha _ {1} ... alpha _ {k}, { dot { alpha}} _ {1} ... { dot { alpha}} _ {m}} (X) , y ^ { alpha _ {1}} ... y ^ { alpha _ {k}} , y ^ {{ dot { alpha}} _ {1}} ... y ^ {{ dot { alpha}} _ {m}}}

Содержание ${ displaystyle omega}$ -уравнение выглядит следующим образом:

Диагональные компоненты с k = m представляют собой вербейны высших спинов, полносимметричные компоненты которых можно отождествить с Фронсдальное поле в качестве

{ displaystyle h _ { mu _ {1}} ^ { alpha _ {1} { dot { alpha}} _ {1}} ... h _ { mu _ {s-1}} ^ { альфа _ {s-1} { dot { alpha}} _ {s-1}} , omega _ { mu _ {s} | alpha _ {1} ... alpha _ {s- 1}, { dot { alpha}} _ {1} ... { dot { alpha}} _ {s-1}} sim Phi _ { mu _ {1} ... mu _ {s}}}

где подразумевается симметризация слева;

В ${ displaystyle omega}$ -уравнение, как можно показать, накладывает уравнения Фронсдала для s = 2, 3, 4, .... Уравнения Максвелла и уравнения Клейна-Гордона для s = 1 и s = 0 компонентов мультиплета находятся в C-уравнении;
Другие компоненты выражаются как производные поля Фронсдала на оболочке;
Производная порядка s от поля Фронсдаля с симметрией тензора Вейля высших спинов определяет соответствующую компоненту C-поля через правую часть ${ displaystyle omega}$ -уравнение.

В заключение, пространство анти-де Ситтера является точным решением уравнений Васильева, и после линеаризации по нему можно найти развернутые уравнения, которые эквивалентны уравнениям Фронсдала для полей с s = 0,1,2,3, ....

Другие размеры, расширения и обобщения

есть важная возможность ввести свободный параметр в четырехмерные уравнения, связанный с нарушением четности. Единственные необходимые модификации:

{ displaystyle { begin {array} {ll} left [S _ { alpha}, S _ { beta} right] = - 2i epsilon _ { alpha beta} (1 + e ^ {i theta } B star varkappa) & left [S _ { dot { alpha}}, S _ { dot { beta}} right] = - 2i epsilon _ {{ dot { alpha}} { точка { beta}}} (1 + e ^ {- i theta} B star { bar { varkappa}}) end {array}}}

Этот свободный параметр играет важную роль в соответствие AdS / CFT более высокого спина. Теория на

{ Displaystyle theta = 0, пи / 2}

инвариант четности;

Также можно взять

{ displaystyle theta}

быть любой четной функцией

{ Displaystyle тета (х) = тета (-x)}

из

{ displaystyle B star varkappa}

в первом уравнении выше и

{ displaystyle B star { bar { varkappa}}}

во втором, что не нарушает согласованности уравнений.

можно ввести группы Янга-Миллса^[9] позволяя полям принимать значения в тензорном произведении алгебры Y-Z на матричную алгебру, а затем применяя усечения, чтобы получить ${ Displaystyle о (Н), и (Н), УСП (Н)}$ ;
рассмотренные выше четырехмерные уравнения могут быть расширены суперсимметриями.^[9] Необходимо расширить алгебру Y-Z дополнительными элементами типа Клиффорда.

{ displaystyle left { xi _ {i}, xi _ {j} right } = 2 delta _ {ij}}

так что поля теперь являются функцией ${ Displaystyle Y, Z, xi}$ и пространственно-временные координаты. Компоненты полей должны иметь правильную спин-статистику. Уравнения необходимо немного изменить.^[10]

Существуют также уравнения Васильева в других измерениях:

в трех измерениях существует минимальная теория высших спинов.^[2] и ее развитие, известное как теория Прокушкина-Васильева,^[3] который основан на однопараметрическом семействе алгебр высших спинов (обычно это семейство обозначается как ${ displaystyle hs ( lambda)}$ ), а также допускает суперсимметричные расширения;
существуют уравнения Васильева, которые действуют в любом измерении пространства-времени.^[4] Спектр теории состоит из всех полей с целыми (или даже только) спинами.

Уравнения очень похожи на четырехмерные, но есть некоторые важные изменения в определении алгебры, в которой поля принимают значения, и есть дополнительные ограничения в d-мерном случае.

Расхождения между уравнениями Васильева и высшими теориями спина

Существует ряд недостатков / особенностей уравнений Васильева, выявленных за последние годы. Прежде всего, классические уравнения движения, например уравнения Васильева, не позволяют решать проблемы, требующие действий, самой основной из которых является квантование.Во-вторых, есть расхождения между результатами, полученными из уравнений Васильева, и результатами других формулировок теорий высших спинов, AdS / CFT корреспонденция или с точки зрения общей теории поля. Большинство расхождений можно объяснить предположениями, использованными при выводе уравнений: калибровочная инвариантность очевидна, но локальность не была задана должным образом, и уравнения Васильева являются решением определенной формальной проблемы деформации. На практике вообще не известно, как извлечь из уравнений вершины взаимодействия теории высших спинов.

Большинство исследований посвящено четырехмерным уравнениям Васильева. Поправка к уравнениям со свободным спином-2, обусловленная тензором напряжений скалярного поля, была извлечена из четырехмерных уравнений Васильева и оказалась^[11]

{ Displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = Re (b_ {1} ^ {2}) left [ sum _ {k} left ( xi _ {k} g _ { mu nu} nabla _ { rho (k + 1)} phi nabla ^ { rho (k + 1)} phi + eta _ {k} nabla _ { mu rho (k)} phi nabla ^ { rho (k)} {} _ { nu} phi + zeta _ {k} nabla _ { mu nu rho (k)} phi nabla ^ { rho (k)} phi right) - { frac {4} {9}} g _ { mu nu} phi ^ {2} right]}

куда ${ textstyle nabla _ { rho (k)} phi = ' nabla _ { rho _ {1}} ... nabla _ { rho _ {k}} phi + { text {симметризация }} - { text {traces}} '}$ являются симметризованными производными с вычтенными следами. Самая важная информация находится в коэффициентах ${ textstyle xi _ {k}, eta _ {k}, zeta _ {k}}$ и в префакторе ${ textstyle Re (b_ {1} ^ {2})}$ , куда ${ textstyle b_ {1} = exp [я тета]}$ - свободный параметр, который имеют уравнения, см. Другие размеры, расширения и обобщения. Важно отметить, что обычный тензор напряжений имеет не более двух производных и члены ${ displaystyle k> 0}$ не являются независимыми (например, они способствуют тому же ${ textstyle langle T_ {ab} j_ {0} j_ {0} rangle}$ Трехточечная функция AdS / CFT). Это общее свойство теорий поля, заключающееся в том, что можно выполнять нелинейные (а также высшие производные) переопределения поля, и поэтому существует бесконечно много способов записать одну и ту же вершину взаимодействия на классическом уровне. Канонический тензор напряжения имеет две производные, и члены со сжатыми производными могут быть связаны с ним посредством таких переопределений.

Удивительный факт, который был замечен^[11]^[12] до того, как было осознано его несовместимость с AdS / CFT, заключалось в том, что тензор напряжений может менять знак и, в частности, обращается в нуль при ${ textstyle theta = pi / 4}$ . Это означало бы, что соответствующая корреляционная функция в теориях материи Черна-Саймонса обращается в нуль, ${ textstyle langle T_ {ab} j_ {0} j_ {0} rangle = 0}$ , что не так.

Наиболее важные и подробные тесты были выполнены намного позже. Это было впервые показано^[13] что некоторые из трехточечных функций AdS / CFT, полученные из уравнений Васильева, оказываются бесконечными или несовместимыми с AdS / CFT, в то время как другие согласуются. Те, кто согласен, на языке Развернутые уравнения соответствуют ${ Displaystyle omega звезда C-C звезда pi ( omega)}$ и бесконечности / несоответствия в результате ${ Displaystyle { mathcal {V}} ( omega, C, C)}$ . Члены первого типа являются локальными и фиксируются алгеброй высших спинов. Члены второго типа могут быть нелокальными (при пертурбативном решении основное поле ${ displaystyle C}$ является производящей функцией бесконечного числа производных полей высших спинов). Эти нелокальности отсутствуют в теориях высших спинов, как видно из явного кубического действия^[14].

Наблюдались дальнейшие бесконечности, нелокальности или отсутствующие структуры.^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]. Некоторые из этих тестов исследуют расширение Гипотеза Клебанова-Полякова к теориям Черна-Саймонса, в которых структура корреляционных функций более сложна и присутствуют нечетные по четности члены. Некоторые из этих структур не воспроизводились уравнениями Васильева. Общий анализ уравнений Васильева во втором порядке^[20] показал, что для любых трех фиксированных спинов член взаимодействия представляет собой бесконечный ряд по производным (аналогично ${ displaystyle k}$ -сумма выше); все члены в серии вносят вклад в одну и ту же трехточечную функцию AdS / CFT, и этот вклад бесконечен. Все проблемы можно отнести к предположениям, использованным при выводе уравнений Васильева: не накладывались ограничения на количество производных в вершинах взаимодействия или, в более общем плане, на локальность, что важно для получения значимых вершин взаимодействия, см., Например, Процедура Нётер. Проблема наложения локальности и извлечения вершин взаимодействия из уравнений сейчас активно исследуется.^[21].

Как кратко упоминается в Другие размеры, расширения и обобщения есть возможность ввести бесконечно много дополнительных констант связи, которые входят через фазовый коэффициент ${ displaystyle theta (x) = theta _ {0} + theta _ {2} x ^ {2} + ...}$ . Как было отмечено^[22], второй такой коэффициент ${ displaystyle theta _ {2}}$ повлияет на пятиточечные корреляционные функции AdS / CFT, но не на трехточечные, что, по-видимому, противоречит результатам, полученным непосредственно при наложении более высокой спиновой симметрии на корреляционные функции. Позже было показано^[20] что члены в уравнениях, которые являются результатом ${ displaystyle theta _ {2,4, ...}}$ являются слишком нелокальными и приводят к бесконечному результату для корреляционных функций AdS / CFT.

В трех измерениях уравнения Прокушкина-Васильева, которые, как предполагается, описывают взаимодействия полей материи с полями высших спинов в трех измерениях, также затрагиваются вышеупомянутой проблемой локальности. Например, пертурбативные поправки второго порядка к тензорам напряжений полей материи приводят к бесконечным корреляционным функциям^[23]. Однако есть еще одно несоответствие: спектр уравнений Прокушкина-Васильева имеет, помимо полей материи (скалярного и спинорного) и полей высших спинов, набор нефизических полей, которые не имеют никакой теоретико-полевой интерпретации, но взаимодействуют между собой. с физическими полями.

Точные решения

Поскольку уравнения Васильева достаточно сложны, точных решений известно немного.

как уже было показано, есть важное решение - пустое пространство анти-де Ситтера, существование которого позволяет интерпретировать линеаризованные флуктуации как безмассовые поля всех спинов;
в трех измерениях, чтобы найти пространство анти-де Ситтера как точное решение для всех значений параметра ${ displaystyle lambda}$ оказывается нетривиальной задачей, но она известна;^[3]
имеется решение типа доменной стенки четырехмерных уравнений;^[24]
существует семейство решений четырехмерных уравнений, которые интерпретируются как черные дыры, хотя метрика трансформируется при преобразованиях высших спинов, и по этой причине трудно полагаться на обычное определение горизонта и т. д .;^[25]^[26]^[27]
в случае трехмерности происходит последовательное усечение, которое отделяет скалярное поле от полей высших спинов, которые описываются теорией Черна – Саймонса. В этом случае любая плоская связность алгебры высших спинов является точным решением, и по этому подклассу было сделано много работ;

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c Васильев, М.А. (июль 1990 г.). «Согласованные уравнения для взаимодействующих калибровочных полей всех спинов в 3 + 1 измерениях». Письма по физике B. 243 (4): 378–382. Bibcode:1990ФЛБ..243..378В. Дои:10.1016/0370-2693(90)91400-6.
^ ^а ^б ВАСИЛЬЕВ М.А. (21 декабря 1992 г.). «УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ d = 3 БЕСМАССОВЫХ ПОЛЕЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧЕРЕЗ ПОЛЯ БОЛЬШОЙ СПИНОВОЙ КАМЕРЫ ЧЕРНА – СИМОНСА». Буквы A по современной физике. 07 (39): 3689–3702. Bibcode:1992MPLA .... 7.3689V. Дои:10.1142 / S0217732392003116.
^ ^а ^б ^c Прокушкин, С.Ф .; Васильев, М.А. (апрель 1999 г.). «Калибровочные взаимодействия высших спинов для полей массивной материи в трехмерном пространстве-времени AdS». Ядерная физика B. 545 (1–3): 385–433. arXiv:hep-th / 9806236. Bibcode:1999НуФБ.545..385П. Дои:10.1016 / S0550-3213 (98) 00839-6. S2CID 14561728.
^ ^а ^б Васильев, М.А. (август 2003 г.). «Нелинейные уравнения для симметричных безмассовых полей высших спинов в (A) dSd». Письма по физике B. 567 (1–2): 139–151. arXiv:hep-th / 0304049. Bibcode:2003ФЛБ..567..139В. Дои:10.1016 / S0370-2693 (03) 00872-4. S2CID 119087308.
^ Васильев, М.А. (1988). «Расширенные супералгебры высших спинов и их реализации в терминах квантовых операторов». Fortschritte der Physik / Прогресс физики. 36 (1): 33–62. Bibcode:1988ФорФ..36 ... 33В. Дои:10.1002 / prop.2190360104.
^ ВАСИЛЬЕВ М.А. (20 марта 1991 г.). "Высшие спиновые алгебры и квантование на сфере и гиперболоиде". Международный журнал современной физики A. 06 (7): 1115–1135. Bibcode:1991IJMPA ... 6,1 115 В. Дои:10.1142 / S0217751X91000605.
^ Васильев, М.А. (февраль 1989 г.). «Согласованные уравнения для взаимодействия безмассовых полей всех спинов в первом порядке по кривизне». Анналы физики. 190 (1): 59–106. Bibcode:1989АнФи.190 ... 59В. Дои:10.1016/0003-4916(89)90261-3.
^ Greub, Вернер (1978). Полилинейная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer США. п. 263. ISBN 1461394252.
^ ^а ^б Конштейн, С.Е .; Васильев, М.А. (февраль 1990 г.). «Расширенные супералгебры высших спинов и их безмассовые представления». Ядерная физика B. 331 (2): 475–499. Bibcode:1990НуФБ.331..475К. Дои:10.1016 / 0550-3213 (90) 90216-Z.
^ Сезгин, Эргин; Сунделл, Пер (31 мая 2013 г.). «Суперсимметричные теории высших спинов». Журнал физики A: математический и теоретический. 46 (21): 214022. arXiv:1208.6019. Bibcode:2013JPhA ... 46u4022S. Дои:10.1088/1751-8113/46/21/214022. S2CID 118456399.
^ ^а ^б Кристианссон, Фредрик; Раджан, Питер (2003). «Поправки скалярного поля к гравитации AdS 4 из калибровочной теории высших спинов». Журнал физики высоких энергий. 2003 (4): 009. arXiv:hep-th / 0303202. Bibcode:2003JHEP ... 04..009K. Дои:10.1088/1126-6708/2003/04/009. ISSN 1126-6708. S2CID 14083688.
^ Сезгин, Эргин; Санделл, Груша (19 июля 2005 г.). «Голография в 4D (супер) теориях высших спинов и проверка с помощью кубических скалярных связей». Журнал физики высоких энергий. 2005 (7): 044. arXiv:hep-th / 0305040. Bibcode:2005JHEP ... 07..044S. Дои:10.1088/1126-6708/2005/07/044. S2CID 119484507.
^ Джомби, Симона; Инь, Си (30 сентября 2010 г.). "Калибровочная теория высших спинов и голография: трехточечные функции". Журнал физики высоких энергий. 2010 (9): 115. arXiv:0912.3462. Bibcode:2010JHEP ... 09..115G. Дои:10.1007 / JHEP09 (2010) 115. S2CID 119117545.
^ Ловкость, Шарлотта; Таронна, Массимо (2 мая 2016 г.). "Высшие спиновые взаимодействия из теории конформного поля: полные кубические связи". Письма с физическими проверками. 116 (18): 181602. arXiv:1603.00022. Bibcode:2016ПхРвЛ.116р1602С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.116.181602. PMID 27203314. S2CID 1265989.
^ Джомби, Симона; Инь, Си (18 апреля 2011 г.). «Высшие спины в AdS и твисториальная голография». Журнал физики высоких энергий. 2011 (4): 86. arXiv:1004.3736. Bibcode:2011JHEP ... 04..086G. Дои:10.1007 / JHEP04 (2011) 086. S2CID 3774025.
^ Джомби, Симона; Инь, Си (18 апреля 2012 г.). «Калибровочная теория высших спинов и критическая модель». Физический обзор D. 85 (8). Дои:10.1103 / PhysRevD.85.086005.
^ Джомби, Симона; Минвалла, Шираз; Пракаш, Широман; Триведи, Сандип П .; Wadia, Spenta R .; Инь, Си (25 августа 2012 г.). "Теория Черна – Саймонса с векторной фермионной материей". Европейский физический журнал C. 72 (8): 2112. arXiv:1110.4386. Bibcode:2012EPJC ... 72.2112G. Дои:10.1140 / epjc / s10052-012-2112-0. S2CID 118340854.
^ Джомби, Симона; Инь, Си (31 мая 2013 г.). «Высшая двойственность спин / векторной модели». Журнал физики A: математический и теоретический. 46 (21): 214003. arXiv:1208.4036. Bibcode:2013JPhA ... 46u4003G. Дои:10.1088/1751-8113/46/21/214003. S2CID 119180150.
^ Чанг, Чи-Мин; Минвалла, Шираз; Шарма, Тарун; Инь, Си (31 мая 2013 г.). «Триальность ABJ: от полей высших спинов к струнам». Журнал физики A: математический и теоретический. 46 (21): 214009. arXiv:1207.4485. Bibcode:2013JPhA ... 46u4009C. Дои:10.1088/1751-8113/46/21/214009. S2CID 118340710.
^ ^а ^б Буланже, Николас; Кессель, Пан; Скворцов Евгений; Таронна, Массимо (4 марта 2016 г.). «Взаимодействия высших спинов в четырех измерениях: Васильев против Фронсдала». Журнал физики A: математический и теоретический. 49 (9): 095402. arXiv:1508.04139. Bibcode:2016JPhA ... 49i5402B. Дои:10.1088/1751-8113/49/9/095402. S2CID 118514321.
^ Васильев, М.А. (17 октября 2017 г.). «Текущие взаимодействия и голография из сектора 0-формы нелинейных уравнений высших спинов». Журнал физики высоких энергий. 2017 (10): 111. arXiv:1605.02662. Bibcode:2017JHEP ... 10..111V. Дои:10.1007 / JHEP10 (2017) 111. S2CID 118695474.
^ Мальдасена, Хуан; Жибоедов, Александр (21 мая 2013 г.). «Ограничивающие конформные теории поля с немного нарушенной высшей спиновой симметрией». Классическая и квантовая гравитация. 30 (10): 104003. arXiv:1204.3882. Bibcode:2013CQGra..30j4003M. Дои:10.1088/0264-9381/30/10/104003. S2CID 119299145.
^ Скворцов Евгений; Таронна, Массимо (6 ноября 2015 г.). «О местности, голографии и разворачивании». Журнал физики высоких энергий. 2015 (11): 44. arXiv:1508.04764. Bibcode:2015JHEP ... 11..044S. Дои:10.1007 / JHEP11 (2015) 044. S2CID 119199863.
^ Сезгин, Э .; Санделл, П. (январь 2007 г.). «Точное решение 4D калибровочной теории высших спинов». Ядерная физика B. 762 (1–2): 1–37. arXiv:hep-th / 0508158. Bibcode:2007НуФБ.762 .... 1С. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2006.06.038. S2CID 16753072.
^ Диденко, В.Е .; Васильев, М.А. (декабрь 2009 г.). "Статическая черная дыра BPS в калибровочной теории 4d более высоких спинов". Письма по физике B. 682 (3): 305–315. arXiv:0906.3898. Bibcode:2009ФЛБ..682..305Д. Дои:10.1016 / j.physletb.2009.11.023. S2CID 15106310.
^ Язеолла, Карло; Сунделл, Пер (22 декабря 2011 г.). «Семейства точных решений четырехмерных уравнений Васильева со сферической, цилиндрической и двухосной симметрией». Журнал физики высоких энергий. 2011 (12): 84. arXiv:1107.1217. Bibcode:2011JHEP ... 12..084I. Дои:10.1007 / JHEP12 (2011) 084. S2CID 119291895.
^ Бурдье, июн; Друккер, Надав (20 апреля 2015 г.). «О классических решениях 4d суперсимметричной теории высших спинов». Журнал физики высоких энергий. 2015 (4): 97. arXiv:1411.7037. Bibcode:2015JHEP ... 04..097B. Дои:10.1007 / JHEP04 (2015) 097. S2CID 53336047.